9698

y¢

= lim

y = lim

y × lim

u .

x

x→0 D x

x→0 Du

x→0 D x

В силу непрерывности функции

u ( x) из условия

x → 0

следует, что

u → 0 . Отсюда вытекает указанная формула в предположении, что

Du ¹ 0.

u = u(x +

x) −u(x) = 0, т.е. u(x +

x) = u(x) то

Если же окажется, что

y = f (u(x + x)) − f (u(x)) = 0 . Значит,

′

= 0

′

u (x)

и y (x) = 0 и формула

дифференцирования сложной функции

0 = fu′(u(x)) ×0 справедлива и в

если для функции

y = f ( x)

(например,

для

y = arcsin x )

существует

обратная

функция

x = ϕ( y)

( x = sin y ,

−π / 2 ≤ y ≤ π / 2 ),

которая

в

рассматриваемой точке y

′

(в нашем примере,

имеет производную j ( y) ¹ 0

cos y ), то

в

соответствующей

точке

x

функция

y = f ( x) имеет

производную, вычисляемую по правилу

f

¢(x) =

1

,

(19.1)

j¢( y)

в котором

y = f ( x) .

В нашем примере

(arcsin x)¢ =

1

=

1

=

1

=

1

,

(sin y)¢

cos y

+ 1 - sin2 y

1 - x2

где знак « + » взят в силу того, что в промежутке

−π / 2 ≤ y ≤ π / 2 ,

в

котором обратная функция существует,

cos y положителен.

Для доказательства формулы (19.1) продифференцируем равенство

x = ϕ( y)

по

переменной

x ,

применяя

правило

дифференцирования

сложной функции (считая y функцией x ):

1 = x'y × yx'

,

откуда следует

y¢ =

1

.

x

x¢y

y

x = ϕ ( y)

y

β

y = f ( x)

α

x

x

Рис. 19.1

Касательная

к

кривой

y = f ( x)

образует

с

положительным

направлением оси Ox угол α .

Касательная к той же кривой

x = j( y)

образует угол β

с

положительным

направлением

оси

Oy .

Согласно

геометрическому смыслу производной

′

′

f (x) = tgα и

ϕ ( y) = tgβ. Но углы

α и β дополняют друг друга до

π / 2 ,

поэтому

tga × tgb = 1 . Это

Найдём производную

показательной

функции

y = a x , a > 0 .

Обратная для неё функция

x = loga

y . Применяя формулу (19.1)

имеем

x ′

1

1

x

(a

) =

=

= y ln a = a

ln a

′

1 1

(loga y)

ln a y

Применяя это правило, найдите самостоятельно производные функций

arccos x , arctgx .

Применим формулу

производной

показательной

функции

(a x )′ = a x ln a для вывода производной степенной функции

Здесь мы использовали то, что в силу непрерывности обратной функции к

ϕ(t ) из

x → 0 следует

t → 0 .

Задача.

Получить

уравнение

касательной к циклоиде. Пусть

окружность радиуса r = 1

совершила одну шестую часть оборота. Найдем

уравнение касательной в соответствующей точке траектории. Одна шестая

часть оборота окружности соответствует значению параметра

t0 = π / 3 , а

координаты

точки:

x0 = x(t0 ) = (t − sin t) t =π / 3 = π / 3 −

3 / 2 ,

y0 = y(t0 ) = 1 − cost t=π / 3 = 0,5 .

Производную

′

находим как производную

yx

функции заданной параметрически

′

sin t

2sin t

cos t

t

=

2

2

yx =

1 − cost

2 t

= ctg

2sin

2

2

t0

π

′

В данной точке циклоиды она равна

= ctg

= ctg

=

3 . Поэтому

yx

2

6

уравнение касательной в этой точке y =

3x + 2 − π /

3 (см. рис. 19.2).

2.5

y=sqrt3*x+2-pi/sqrt3

2

1.5

1

x = t - sint

y =1 - cost

0.5

0 < t < pi

X: 0.18

Y: 0.498

0

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-0.5

x2

+

y2

= 1 ( y > 0 ).

a2

b2

133

Графиком этой функции служит верхняя половина эллипса. Покажем, как

находить производную этой функции, не выражая явно

y через x (для

некоторых неявно заданных функций такое вообще невозможно).

Продифференцируем это

уравнением по переменной

x , считая, что

переменная y является функцией x

\

1

1

′

b2 x

a2

2x + b2

2yy

= 0

y′ = − a2 y

В общем случае неявно заданной функции нужно действовать

аналогичным образом.

Задача. Получить уравнение касательной к эллипсу в точке M 0 ( x0 , y0 ) .

Уравнение касательной

y − y

= − b2 x0 ( x − x

)

0

a 2 y

0

0

после умножения на

y0

примет вид

x0

x + y0

y = 1.

b2

a2

b2

Для эллипса

x2

+ y2

= 1

в точке

M

0

(3, 1.6)

уравнение

25

4

касательной

3x + 10 y − 25 = 0

(см. рис. 19.4).

3

X: 0

Y: 2.5

2.5

2

X: 3

Y: 1.6

1.5

3

x

+

1

1

0

y

-

2

2

2

5=

0

0.5

1/25x

+ 1/4y

= 1

0

-0.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

Рис. 19.4

19.4. Логарифмическое дифференцирование. Применим метод

нахождения производной неявно заданной функции к выводу производной

показательно-степенной функции вида

1

y

′

′

1

u

′

y

= v ln u + v

u

и отсюда

′

v

′

1

′

v

′

v−1 ′

= u

+ vu

y

(v ln u + v u ) = u

ln u v

u .

( x + 1)2

y =

x −1

,

ln y = 2ln ( x + 1) +

1

ln ( x −1) − 3ln ( x + 4) − x,

( x + 4)3 ex

2

1

′

2

1

3

y

=

+

−

−1,

y

x + 1

2( x −1)

x + 4

( x + 1)2

y′ =

x −1

2

1

3

+

−

−1

( x + 4)3 ex

( x + 1)

2( x −1)

+ 4

x

′

′

α ′

α−1

1

1

(

x )

1

(x

) = αx

,

= −

,

=

x

2

x

x

2

(sin x)′ = cos x,

(cos x)′ = − sin x

(tgx)′ =

1

,

(ctgx)′ = −

1

sin2 x

cos2 x

(a rc s in x )′ =

1

,

(arccos x)′ = −

1

,

− x2

1

− x 2

1

135

(arctgx )′ =

1

,

(arcctgx)′ = −

1

,

+ x

2

1 + x 2

1

(loga x)¢ =

1

×

1

,

(ln x)¢ =

1

,

ln a

x

x

(a x )′ = a x ln a ,

(e x )′ = e x ,

(u ± v)′ = u¢ ± v¢,

(u × v)′ = u¢v + v¢u ,

(c × f )′ = cf ¢,

c = const,

′

′

′

'

′ ′

x = x(t)

′

′

u

u v − v u

yt

=

, [ f (u(x))]x = fu ux

,

y = y(t)

yx

=

.

v

v2

xt′

y

Дифференцируя второй раз, получим

2 + 2 y′ × y′ + 2 y × y′′ = 0 y¢¢ = -

1 + y¢2

= -

x2 + y2

.

y

y3

136

В случае параметрического задания функции x = x(t)

, α ≤ t ≤ β

′

y = y(t)

′

=

y (t)

первая производная равна

′ .

Для нахождения второй

yx

x (t)

'

y¢

(

t

)

'

1

&&&

&&

y"

= ( y¢ )

×t'

=

×

=

yx - xy

,

x¢

(t )

x¢(t)

xx

x

t

x

x&3

t

где точка сверху обозначает производную по

t .

Например,

x = a cost

yx'

=

bcost

= −

b

ctgt ,

,

a

y = bsin t

−asin t

''

b

'

1

b

1

b

yxx

= -

ctg t

×

=

×

= -

.

&

a sin

2

t

-a sin t

a

2

sin

3

a

t

x

t

R

= { m, n, p}

s

M

s

M

t × s

0

R

R

r (t) = { x(t), y(t), z(t)}

r0

R

R

R

= (x0 + t m)i + ( y0 + t n) j + (z0 + t p)k ,

− ∞ < t < +∞ .

r (t) = r0

+ t s

x = x(t),

α ≤ t ≤ β

y = y(t),

z = z(t),

точке функции x(t), y(t), z(t) .

При этом полагают

R

+ lim y(t) × j + lim x(t) × k

lim r (t) = lim x(t) × i

t →t0

t →t0

t →t0

t →t0

d r

=

d x R

+

d y R

+

d z R

i

j

k .

dt

dt

dt

dt

138

Производной вектор-функции

r (t ) в точке

t0

называется предел

отношения приращения

r к

приращению

t ,

когда последнее

R

r

r (t

0

+

t) − r (t

)

dr

r′(t0 ) = lim

= lim

0

=

.

t

t

t →0

t →0

dt

отрицательное приращение

t . Вектор r = r (t0 +