9698

где β – угол между касательной BM 0 к кривой z( y) = f (x0 , y) в точке M 0 и плоскостью xOy . Аналогичные рассуждения приводят к тому, что

∂f (x0 , y0 ) = tgα ,

∂y

рис.1.5). Нас интересует, как быстро меняется значение функции при

M0 ( x0 , y0 ) α

x

Рис. 1.5

Тогда координаты точки M ( x, y) равны: x = x0 + Dx = x0 + Ds × cosα , y = y0 + Dy = y0 + Ds ×sinα , а приращение функции в этом направлении

Ds z = f (x0 + Ds ×cosα , y0 + Ds ×sinα ) - f (x0 , y0 ) .

Если точка M стремится к точке M 0 , то s → 0 .

Производной функции z = f ( x, y) в точке M 0 ( x0 , y0 ) в заданном направлении s называется предел

250

z = fx′(ξ, y)x′(t1) + fy′(x0 ,η) y′(t2 ) . t

Переходя в этом равенстве к пределу и замечая, что при t → 0 имеем

t → t0 t1 , t2 → t0 x → x0 , y → y0 ξ → x0 ,η → y0 ,

с учетом непрерывности всех, входящих в это равенство функций, получаем

Заметим, что это естественное обобщение формулы производной сложной функции одной переменной. В случае большего числа переменных, например, если z = f (u(t), v(t), w(t)) , то

37.2. Вычисление производной по направлению. Теперь мы можем получить формулу для вычисления производной по направлению. В самом деле, согласно определению (37.1) производная по направлению совпадает

Обратим только внимание на тот факт, что в определении производной по направлению мы приближаемся к данной точке с одной стороны, т.е. имеем односторонний предел. Например, частная производная по отрицательному направлению оси абсцисс отличается знаком от частной производной по переменной x .

Аналогичным образом вводится понятие производной по направлению для функции трёх переменных u = F ( x, y, z)

252

l , а α, β, γ – углы между осями координат и этим вектором.

Приведём без доказательства формулы для производной сложной функции z = f (u,v) , u = u( x, y), v = v( x, y) . В итоге

z = f (u( x, y), v( x, y)) = Φ( x, y)

будет функцией двух переменных и ее частные производные находятся по формулам

37.3. Дифференцирование неявных функций. Полученные нами правила дифференцирования сложных функций позволяют более просто, чем ранее, находить производные функций, заданных неявно. Пусть

некоторую функцию двух переменных, у которой существуют частные производные. Как их найти?

получаем

253

Выясним геометрический смысл модуля градиента функции двух переменных. Пусть e – единичный вектор направления наибольшего возрастания функции в данной точке. Тогда производная по этому направлению равна

отсюда следует, что модуль градиента – это «скорость» изменения функции в направлении наибольшего возрастания функции в данной точке. Как характеризует величина этой «скорости» поверхность z = f ( x, y) в окрестности данной точки? Рассмотрим сечение поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через точку M ( x0 , y0 ) и вектор e

(см. рис. 37.1).

z = f ( x, y)

M 1

e

αM 0 ( x0 , y0 )

B

Рис. 37.1

Эту величину называют крутизной подъёма поверхности в данной точке. Теперь убедимся в том, что в каждой точке градиент направлен по нормали к линии уровня f ( x, y) = C , проходящей через данную точку. Пусть функция z = f ( x, y) имеет непрерывные частные производные, а её линия уровня, проходящая через точку M 0 ( x0 , y0 ) , имеет касательную в этой точке. Обозначим направление этой касательной единичным вектором e . Тогда производная по этому направлению в точке M 0 из

интуитивных соображений должна быть равна нулю. Убедимся в этом.

255

y

β

α

M 0 (1, 2)

x

Рис. 37.3

Крутизна подъёма поверхности в данной точке равна (см. рис. 37.4)

tgϕ = −2i − j = 5 ϕ ≈ 66O .

z

x

257

F ( x(t), y(t), z(t)) ≡ 0 , левая часть которого дифференцируема в точке t = t0 как сложная функция. Дифференцируя это тождество, получаем

перпендикулярны, т.к. их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что тождество (37.4) будет выполняться для любой кривой, лежащей на

все эти векторы лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в данной точке (см. рис. 37.5).

(gradF )0

l1

M 0

L1

L2 l2

258