9698
.pdfПрL (ka) = k ПрLa .
Лекция 6. Системы координат
6.1. Линейная комбинация векторов. Выше вектор был определен как геометрический объект – направленный отрезок. Перейдем теперь к эквивалентному его описанию в виде упорядоченного набора чисел. Для этого дадим следующие определения.
Линейной комбинацией векторов |
a1 , a1 , K , am с коэффициентами |
|||
k1 , k2 , K , km называется вектор вида |
|
|
|
|
R |
R |
R |
m |
R |
|
||||
k1a1 |
+ k2a2 + K + km am |
= ∑ ki ai . |
||
|
|
|
i=1 |
|
Линейная комбинация |
называется |
тривиальной, если все ее |
коэффициенты равны нулю. Будем говорить, что вектор b выражается в виде линейной комбинации векторов a1, a1, K, am , если он представим в виде
R |
m |
R |
b |
= ∑ki ai . |
|
|
i=1 |
|
Теорема. Любой вектор a |
на плоскости единственным образом |
представим в виде линейной комбинации двух данных неколлинеарных векторов e1 и e2 этой плоскости.
Доказательство. Поместим начала всех трех векторов в некоторую
точку O (см. |
рис. 6.1). |
Из |
конца |
вектора |
a |
проведем прямые, |
|
параллельные векторам e1 и e2 , |
и обозначим через P и |
Q точки их |
|||||
пересечения с |
осями, |
«проходящими» через |
векторы |
e1 и e2 , |
|||
соответственно. По правилу сложения векторов имеем |
R |
|
|||||
a = OP + OQ . |
|||||||
|
|
|
Q |
a |
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
O |
e1 |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 6.1 |
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
a1 и a2 , что |
|
Так как OP || e1 |
и OQ || e2 , |
то существуют такие числа |
|||||
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
OP = a1e1 , |
OQ = a2e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
Таким образом, получим a = a1e1 + a2e2 .
Покажем теперь, что такое представление единственно. Пусть это не
так, т.е. a = a′e |
+ a′e |
. Тогда после вычитания получим |
|||||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
+ (a2 |
′ |
= 0 . |
|
|
|
|
(a1 − a1 )e1 |
− a2 )e2 |
Если хотя бы один из коэффициентов при векторах e1 и e2 , не равен нулю, то отсюда будет следовать их коллинеарность, что противоречит предположению. Таким образом, указанное представление единственно.
Теорема. Любой вектор a в пространстве единственным образом представим в виде линейной комбинации трех данных некомпланарных векторов e1 , e2 и e3 .
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы (см. рис.6.2)
|
a |
R |
|
e2 |
Q |
|
|
e3 |
|
O |
|
e1 |
P |
|
|
|
Рис. 6.2 |
Введем свойство линейной зависимости векторов, обобщающее свойства коллинеарности и компланарности на случай произвольного числа векторов. Векторы a1, a1, K, am называются линейно зависимыми, если хотя бы один из них выражается в виде линейной комбинации остальных, то есть
R |
= |
m |
R |
|
|
(6.1) |
|||
a j |
∑ ki ai |
i=1(i¹ j )
В противном случае эти векторы называются линейно независимыми. Из этих определений следует, что любые два коллинеарных вектора
линейно зависимы, так как из условия a1 || a2 следует, что a2 = ka1 , и что любые три вектора на плоскости также линейно зависимы. Таким образом, приведенные выше теоремы можно переформулировать следующим образом: любой вектор на плоскости единственным образом представим в виде линейной комбинации двух заданных линейно независимых векторов, а любой вектор в пространстве – в виде линейной комбинации трех заданных линейно независимых векторов.
41
Возможность такого представления любого вектора приводит к мысли определять вектор и его положение набором коэффициентов его линейной комбинации. Естественно возникают задачи определения положения вектора и его длины через этот набор коэффициентов. Эти задачи решаются с помощью операции скалярного умножения векторов.
6.2. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Базисом
называются взятые в определенном порядке линейно независимые векторы. Термин базис (гр. basis – основание) отражает тот факт, что через эти векторы можно выразить любой вектор. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным, а если плюс к этому базисные векторы имеют единичную длину, то –
ортонормированным.
Выражение данного вектора a в виде линейной комбинации базисных векторов называется его разложением в данном базисе (или по
базису):
|
|
|
a = a1e1 + a2e2 + a3e3 . |
|
Коэффициенты разложения |
{a1, a2 , a3} |
называются координатами |
||
вектора |
a |
в данном базисе, |
и записывается это так: |
|
|
|
|
a = { a1, a2 , a3} . |
|
Таким образом, теперь вектор – это упорядоченная тройка чисел (на |
||||
плоскости – |
пара чисел). |
|
|
|
Операции над векторами в координатной форме |
||||
· |
R |
= b тогда и только тогда, когда |
ai = bi , i ; |
|
a |
||||
· |
R |
+ b = { a1 + b1, a2 + b2 , a3 + b3} ; |
|
|
a |
|
·l × a = { l a1, l a2 , l a3 ,}
непосредственно следуют из определения. Например,
R |
R |
R |
R |
R |
R |
R |
a |
+ b = (a1e1 |
+ a2e2 |
+ a3e3 ) + (b1e1 |
+ b2e2 |
+ b3e3 ) = |
= (a1 + b1 )e1 + (a2 + b2 )e2 + (a3 + b3 )e3 ) = {a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3}.
Условие коллинеарности двух векторов «в координатах» получается
следующим образом: |
R |
|| b |
тогда и только тогда, когда |
R |
или |
a |
b = l × a |
bi = l × ai i , т.е. их соответствующие координаты пропорциональны:
42
|
b1 |
= |
b2 |
= |
b3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a1 a1 |
|
a3 |
|
|
|
||||
6.3. Декартова система координат. |
Декартовой |
системой |
||||||||
координат называется совокупность фиксированной точки O (начала |
||||||||||
координат) и базиса векторов {e1, e2 , e3}, |
|
исходящих из точки |
O . |
Оси, |
||||||
проходящие через базисные векторы, |
называют соответственно |
осью |
абсцисс (ось Ox ), осью ординат (ось Oy ) и осью аппликат (ось Oz ). Плоскости, проходящие через две какие-либо оси, называют координатными плоскостями.
Если базис ортогональный, то такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат. В ортонормированном
|
|
|
R |
R |
базисе единичные базисные векторы принято обозначать через |
i , |
j , k . |
||
Очевидно, что «в координатах» эти векторы |
записываются следующим |
|||
образом: |
|
|
|
|
R |
R |
k = {0, 0, 1} . |
|
|
i = {1, 0, 0}, |
j = {0, 1, 0}, |
|
|
|
Радиус-вектором произвольной точки |
M называют вектор |
OM , а |
его координаты называют координатами этой точки. Если даны
координаты точек |
A(x1, y1, z1) |
и B(x2 , y2 , z2 ) , |
то в силу того, |
что |
||
AB = OB − OA , координаты вектора AB равны |
|
|
|
|||
|
AB = {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1} . |
|
|
|||
Для произвольной точки M |
в |
декартовой |
системе |
координат с |
||
ортонормированным базисом в разложении вектора |
|
|
|
|||
|
OM = |
R |
R |
|
|
|
|
x × i |
+ y × j + z × k |
|
|
|
|
его координаты |
x, y, z являются |
проекциями |
вектора |
OM на |
оси |
Ox, Oy, Oz , соответственно (см. рис. 6.3)
OM = x i + y j + z k
z k
γ
β y
x |
j |
|
α |
||
43 |
||
i |
|
|
P |
|
Q
|
|
Рис. 6.3 |
Обозначим через |
α, β, γ |
углы между положительными |
направлениями осей координат и вектором OM . Тогда проекции вектора OM выражаются следующим образом:
x = PrOX OM =| OM | cos α , y = PrOY OM =| OM | cosβ , z = PrOZ OM =| OM | cos γ .
В частности, если вектор = R единичной длины, то его координаты
OM e
являются косинусами углов, которые этот вектор образует с осями координат, то есть
e= {cosα, cosβ, cos γ}.
Всвязи с этим координаты единичного вектора называют
направляющими косинусами этого вектора.
Длина вектора может быть найдена по теореме Пифагора: из двух прямоугольных треугольников OMQ и OPQ следует, что
UUUUR
| OM |= x2 + y 2 + z 2 .
Таким образом, углы, которые вектор образует с осями координат, связаны следующим соотношением
R |
2 |
= co s2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. |
e |
6.4.Полярная система координат. Кроме декартовой, возможны
идругие системы координат. Рассмотрим полярную систему координат.
Пусть на плоскости зафиксирована точка |
O (полюс) и выбран луч |
(полярная ось OP ) с началом в полюсе (см. рис.6.4)
44
, φ
r |
r |
Рис. 6.4
Тогда положение произвольной точки M на плоскости можно однозначно охарактеризовать двумя числами (r,ϕ) , где r =| OM | – расстояние этой
точки от полюса и ϕ – угол между полярной осью и вектором OM , отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки (см. рис. 6.4).
Выберем на плоскости две системы координат – декартову прямоугольную и полярную – так, что полюс находится в начале декартовой системы координат, а полярная ось направлена вдоль положительного направления оси абсцисс. Тогда любая точка M будет иметь декартовы координаты (x, y) и полярные (r,ϕ) . Из рис. 6.4 непосредственно следуют соотношения между полярными и декартовыми координатами (предполагается, что линейный масштаб одинаковый в обеих системах координат)
x = r cos ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
||||
r = |
|
|
|
||||||
y = r sin ϕ , |
|
tg ϕ = |
|
y . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В полярной системе координат удобнее изображать кривую, расстояние точки которой от начала координат (полюса) определяется как функция направления (полярного угла). Например, так называемая «спираль Архимеда» определяется следующим образом: расстояние её точки до полюса пропорционально величине угла между полярной осью и радиусом-вектором этой точки. В соответствии с этим запишем уравнение этой кривой в полярной системе координат
r = a × j , a > 0
и построим ее график Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию движения точки, равномерно перемещающейся вдоль прямой, в то время как эта прямая равномерно вращается против часовой стрелки относительно полюса. На рис. 6.5 приведена часть этой спирали, соответствующая изменению полярного угла в пределах одного оборота.
45
Рис. 6.5
Лекция 7. Скалярное произведение
7.1. Скалярное произведение двух векторов. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению
модулей этих векторов на косинус угла между ними < R > = R × ϕ a,b | a | | b | cos
b
ϕ
a
Рис. 7.1
Под углом между двумя векторами будем понимать наименьший из двух углов между ними.
Скалярное произведение обозначается символом |
R |
× b |
R |
a |
или < a,b > . |
Обратим внимание на то, что результат этой операции может быть выражен через проекцию одного из векторов на другой. Действительно, так как
|
ПрaRb =| b |cos j , |
ПрbR a =| a|cos ϕ , |
R |
R |
R |
то (см. рис. 7.2) < a,b > =| a | ×ПрaR b =| b | ×ПрbR a
46
R R
ПрbRa b
ϕ
ПраRb a
Рис. 7.2
С этой операцией в физике связано вычисление работы силы F при перемещении материальной точки по направлению вектора S , когда угол между этими векторами равен ϕ . Тогда работа вычисляется по формуле
A =| F |× | S |cos j = < F, S > .
Операция скалярного произведения позволяет выразить проекцию вектора на вектор и угол между векторами следующим образом:
|
|
R |
> |
|
R |
,b > |
|
R < a,b |
, cos j = |
< a |
|||||
R |
= |
R |
|
R |
R |
, |
|
Пр b a |
| b | |
|
|
||||
|
|
|
|
| a |×| b |
| |
причем, если скалярное произведение векторов положительно, то угол между ними острый, а если отрицательно – тупой. В частности, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны)
R |
Û |
R |
^ b . |
< a,b > = 0 |
a |
Из определения скалярного произведения следует коммутативность этой операции
R |
R |
> , |
< a,b > = < b,a |
а из свойств проекций векторов вытекают следующие ее свойства:
R |
R |
R |
R |
R |
R |
R R |
> . |
< ka,b > = < a, kb > = |
k× < a,b > , |
< a,b + c |
> = < a,b > + < a,c |
Докажем последнее из них
47
R |
R |
> = |
R |
|
|
R R |
< a,b + c |
| a |
| (ПрaR (b + c) =| a |
||||
|
R |
|
|
R |
R |
R |
|
| a | ПрaRb + | a | ПрaRc |
=< a,b |
Пр + Пр R =
| ( aRb aRc)
> + < R R > a,c .
Интересно отметить, что скалярное произведение вектора на себя дает
R R |
R |
R |
R |
|2 , |
< a, a |
> = | a |
| ×| a |
| cos 0O =| a |
поэтому модуль вектора выражается через скалярное произведение следующим образом
R |
|
= |
R R |
> . |
(7.1) |
|
|||||
a |
|
< a, a |
Пример. В параллелограмме ABCD одна из сторон вдвое больше другой и острый угол между ними равен 600 . Найти острый угол между диагоналями параллелограмма и проекцию малой диагонали на большую.
Введём декартову систему координат, взяв за начало точку A и
R R º
выбрав базис {e1,e2} {0.5AB, AD} (см. рис.7.3). Пусть длины базисных векторов для определённости равны единице.
D C
?
e2
?
A |
e1 |
B |
Рис. 7.3
В этом базисе диагонали параллелограмма имеют разложение
R |
R |
, |
R |
R |
d1 = DB = 2e1 |
- e2 |
d2 = AC = 2e1 |
+ e2 . |
Искомые величины выражаются через скалярное произведение
cos(ÐBO C) = |
< d1 |
, d2 |
> |
|
R |
= |
< d1, d |
2 |
> |
|
ПрR |
d |
|
||||||||
R |
R |
, |
|
R |
|
. |
||||
1 |
| d1 | |
× | d2 | |
d2 |
|
1 |
|
| d2 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем скалярное произведение, применяя более компактное по написанию обозначение
d1 × d |
R |
R |
R |
R |
R |
R |
R |
R |
= 3. |
2 = (2e1 |
- e2 ) × (2e1 |
+ e2 ) = 4e1 |
× e1 |
- e2 |
× e2 |
||||
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
Модули векторов вычисляем по формуле (7.1):
R
| d1 |=
Итак,
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|||
d |
× d |
= |
|
|
|
||||||
|
(2e |
- e )2 |
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|= |
|
|
|
|
R |
|
R |
= |
|||
| d |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
(2e |
+ e )2 |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||
|
|
R |
= |
< d1, d2 > |
= |
||||||
|
|
R |
|||||||||
|
|
|
|
R |
|||||||
Прd2 d1 |
|
|
| d2 | |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R |
|
R R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
= 5 - 4cos60O = 3 |
|||||||||||||
|
|
4e 2 |
- 4e e |
2 |
+ e 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
|
|
= |
|
5 + 4cos60O = 7 . |
||||||||||||
|
4e |
2 |
4e e |
2 |
+ e 2 |
|
|||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
≈ 1.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(ÐBO C) = |
|
|
3 |
|
|
» 0.65 ÐBO C » arccos 0.65 » 49O |
|
|
× |
|
|
||
1 |
|
3 |
7 |
1 |
||
|
|
|
|
7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах.
Выразим скалярное произведение через координаты его сомножителей.
Пусть задана |
декартова |
прямоугольная |
система |
координат |
с |
|||||||||
|
|
|
|
{ |
R R |
R |
} |
|
|
|
|
R |
= { ax , ay , az } |
|
ортонормированным базисом |
i , j, k |
и |
два вектора |
a |
и |
|||||||||
b = { bx ,by ,bz } . |
Тогда, |
учитывая |
свойства скалярного |
произведения, |
||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R R |
R |
R |
|
R |
|
R |
R |
|
> = |
|
|
< a,b |
> = < axi |
+ ay j |
+ az k , bxi |
+ by j + bz k |
|
||||||||
|
|
R R |
> + axby |
|
R |
R |
|
R |
> + |
|
||||
|
= axbx < i , i |
< i , j |
> + axbz < i , k |
|
||||||||||
|
|
R R |
> + ayby < |
R |
R |
|
R |
> + |
|
|||||
|
+ aybx < j ,i |
j , j |
> + aybz < j , k |
|
||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
> + azbz < k , k > = |
|
|
|||
|
+ azbx < k , i |
> + azby < k , j |
|
|
= axbx + ayby + azbz .
Итак, скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат сомножителей:
R |
+ ayby |
+ azbz . |
< a,b > = axbx |
Теперь мы в состоянии выразить полученные выше формулы для модуля вектора, проекции вектора на вектор и угла между векторами в координатах данных векторов. А именно,
49