Теория передачи сигналов (2 часть)
.pdf
Погрешность представления дискретного сигнала рядом Уиттекера
При t=nΔt значения sN(t) совпадают с сигналом s(t). Погрешность равна нулю. Погрешность отлична от нуля внутри интервала между отсчётами.
131
Погрешность представления аналогового сигнала
дискретными отсчётами из-за ограничения спектра
E Спектральная плотность энергии сигнала
0 |
ωв |
2ωв |
ω, Рад/с |
|
|
|
|
E- E |
|
E |
|
Основная |
Часть спектральной плотности |
|
энергия |
||
энергии, которая не учитывается |
||
сигнала |
||
|
132
Погрешность представления аналогового сигнала дискретными отсчётами из-за ограничения спектра
= ∆ - относительная погрешность
E – спектральная плотность полной энергия сигнала;
E – часть спектральной плотности энергии, которая не учитывается.
∞
1= 2 2 − формула Релея
−∞
∞
1 ∆ = 2 2
в
∞
= − − прямое преобразование Фурье
−∞ |
133 |
Спектр одиночного дельта-импульса
При дискретизации сигнала используется его перемножение на периодическую последовательность дельтаимпульсов. Период равен интервалу дискретизации.
Определим спектр одиночного дельта-импульса и его периодической последовательности. Используем прямое преобразование Фурье:
∞ ∞
|
= ( ) − |
|
|
= ( ) − |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
Данный интеграл вычисляется с использованием фильтрующего свойства δ-функции:
0 |
|
|
− 0 |
= ( 0) |
В нашем случае t0=0, а s(t)=e-jωt. |
−∞ |
|
134 |
Спектр одиночного дельта-импульса
|
|
0 |
|
|
= ( ) − = 0 = 1 |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
δ |
|
|
(t) |
0 |
t |
Sδ(jω)
1
ω
0
Спектр δ-функции равен единице во всём диапазоне частот. 135
Спектр последовательности δ-импульсов
Для определения спектра периодической последовательности δ-импульсов воспользуемся рядом Фурье в
комплексной форме: |
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
= |
( ) −1 |
|
= |
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
=−∞ |
|
|
−2 |
||
|
||
Периодическая последовательность δ-импульсов |
||
δ(t)
δ(t+3 t) |
δ(t-3 t) |
n t
-3 t -2 t |
- t |
0 |
|
|
t |
2 t 3 t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T= |
t - период |
||
136
Спектр последовательности δ-импульсов
Спектр определяется комплексным коэффициентом:
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
2 |
|
|
|
|
= 0, ±1, ±2, … ± ∞ |
|||||||||||
( ) −∆ , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
0 = |
1 |
|
||
С учётом фильтрующего свойства δ-функции получаем: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∆ |
|
|
∆ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом: |
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
= |
|
1 , |
|
= |
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∆ |
|
|
1 |
д |
|
|
∆ |
||||||
|
|
|
|
|
=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножение сигнала на exp(jnωдt) соответствует сдвигу |
|||||||||||||||||
спектральной |
функции |
на |
nωд. |
Отсюда |
следует, |
что |
спектр |
||||||||||
периодической последовательности дельта-функции состоит из бесконечного ряда повторяющихся гармоник.
137
Спектр последовательности δ-импульсов
S |
(ω) |
δ |
|
2 1/
∆
t
ω
-6π/ |
t |
-4π/ |
t |
-2π/ |
t |
0 |
2π/ |
t |
4π/ |
t |
6π/ |
t |
|
138
Спектр дискретного сигнала
Дискретный сигнал получается в результате перемножения исходного непрерывного сигнала и периодической последовательности δ-импульсов.
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
1 |
∞ |
|
|
∆ |
= |
∙ |
|
= |
|
д = |
( ) д |
|||
|
|
||||||||||
д |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
=−∞ |
|
=−∞ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
139
Спектр дискретного сигнала
Для нахождения спектра дискретного сигнала воспользуемся прямым преобразованием Фурье:
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
= |
∆ − |
|
= |
( ) д − |
|||||||
|
|||||||||||||
д |
|
д |
|
|
|
|
|
|
д |
|
∆ |
||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Перенесём интеграл под знак суммы: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
∞ |
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
( ) − ( − д) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
д |
|
|
∆ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
=−∞ −∞ |
|
|
|
||||
|
|
|
д |
= |
1 |
|
∞ |
( − д |
|||||
|
|
|
∆ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
=−∞ |
|
|
|||
|
|
Спектр |
дискретного |
сигнала |
представляет собой |
||||||||
бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного аналогового сигнала. Интервал по частоте между соседними копиями спектра
равен частоте дискретизации ωд=2π/Δt. |
140 |
|