Теория передачи сигналов (2 часть)
.pdf
Дискретные сигналы
Пример дискретной синусоиды:
>> N=8; |
% число отсчётов на период |
>> n=[0:N-1]; |
% номера отсчётов |
>> S=sin(2*pi*n/N); |
% расчёт синусоиды |
>> stem(n,S) |
% построение графика |
101
Дискретизация
Возможность |
замены |
|
Интерполяция. |
Математическая |
||
аналогового |
сигнала |
|
связь |
между |
исходным |
|
дискретными отсчётами. |
|
аналоговым |
сигналом |
и |
||
|
|
|
набором дискретных отсчётов. |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
− аналоговый сигнал (функция) |
≠ д ∆ |
|
||||
∆ − одиночный отсчёт (число)
∞ |
|
|
|
= 2 |
д ∆ |
( ∆) − сумма чисел |
∙ |
− интерполирующая |
|||
=−∞ |
2 |
||||
∞ |
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
||
д ∆ = |
∆ 1 ( − ∆) |
|
|
|
|
=−∞
- последовательность дискретных отсчётов (функция)
1 − ∆ − функция времени
102
Историческая справка
1. Математическая теория функций. Представление произвольной функции в виде суммы более простых с периодом следования t во временной области. В дальнейшем t – интервал дискретизации.
Эмиль Борель, Emile Borel (1871-1956). «Lessons on the theory of functions», 1898 г.
Эдмунд Тейлор Уиттекер, Edmund Taylor Whittaker (18731956). «On the functions which are represented by the expansions of the interpolation theory», 1915 г. Ввёл понятие основной
(кардинальной) функции.
2. Показана возможность, вместо непрерывного сигнала, передавать отдельные отсчёты сигнала. Теорема отсчётов.
Гарри Найквист, Harry Nyquist (1889-1976). «Некоторые вопросы теории телеграфной передачи» (Certain Topics in Telegraph Transmission Theory), 1928 г.
103
Историческая справка
3. Формулировка и доказательство семи теорем для задач дискретизации и интерполяции.
Владимир Александрович Котельников (1908-2005 гг.) работа «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», 1933 г. Доклад к первому Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности.
Независимо от Котельникова доказательство теоремы отсчётов привёл Клод Шеннон (Claude Shannon, 1916-2001). Communication in the presence of noise, (1940) г.
104
Теорема отсчётов*
Любую функцию , состоящую из частот от 0 до в ( в),
в
можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи
чисел, следующих друг за другом через ∆ = |
|
секунд. Если |
|||
|
|||||
|
|
|
в |
||
частота задана в радианах, то ∆ = |
. |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
в |
|
|
||
Частота дискретизации д = |
|
, или д = в. |
|||
|
|||||
|
∆ |
|
|
||
* Теорема II. Котельников В.А. «О пропускной способности эфира и проволоки в |
|||||
электросвязи», 1933 г. |
|
|
|
|
105 |
Теорема отсчётов*
Частотой Найквиста называют такую частоту сигнала, при которой он может быть однозначно восстановлен при дискретизации с частотой д, д = д.
найк = д, найк = найк.
в найк д
Верхняя частота спектра дискретизируемого сигнала не должна превышать частоту Найквиста.
* Теорема II. Котельников В.А. «О пропускной способности эфира и проволоки в
электросвязи», 1933 г. |
106 |
Особенности дискретизации гармонического сигнала
В соответствии с условием теоремы отсчётов интервал дискретизации бесконечного гармонического сигнала должен составлять половину периода исходного аналогового колебания:
∆ = |
1 , в = |
1 |
, ∆ = |
|
. |
|
|
2 |
|||||
|
2 в |
|
|
Исходный и восстановленный сигналы
∆
Отсчёты находятся в точках максимума сигнала
Сигнал определяется двумя отсчётами (сэмплами) за один период.107
Особенности дискретизации гармонического сигнала
При том же значении интервала дискретизации, возьмём отсчёты в других точках:
Исходный сигнал
Восстановленный сигнал
∆
Отсчёты не находятся в точках максимума сигнала
У восстановленного сигнала изменилась амплитуда и начальная
фаза, частота сохранилась прежней. |
108 |
|
Особенности дискретизации гармонического сигнала
При том же значении интервала дискретизации, возьмём отсчёты в других точках:
Исходный сигнал
Восстановление сигнала невозможно
∆
Отсчёты попадают в точки с нулевыми значениями сигнала
При дискретизации гармонического сигнала, интервал дискретизации должен быть меньше значения T/2, иначе произойдёт искажение
амплитуды и фазы восстановленного сигнала. |
109 |
Дискретизация полосового сигнала*
Любую функцию s(t), состоящую из частот от f1 до f2 можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, передаваемых друг за другом через интервал времени:
∆ = |
|
1 |
, с |
2( − ) |
|||
|
2 |
1 |
|
s(f)
f, Гц
0 |
f |
f2 |
|
|
1 |
* Теорема V. Котельников В.А. «О пропускной способности эфира и
проволоки в электросвязи», 1933 г. |
110 |