Лабораторная работа №1 дискретизация и восстановление непрерывных сигналов

1 Цель работы

Изучение процессов временной дискретизации импульсных сигналов и их последующего восстановления с помощью фильтра нижних частот (ФНЧ).

2 Теоретические основы дискретизации сигналов

Как известно [1, 2] детерминированный сигнал s(t), имеющий конечное значение энергии

(1)

может быть представлен в виде весовой суммы элементарных сигналов

(2)

где – система функций, которые обладают свойством ортогональности

при (3)

t₁, t₂ – моменты времени начала и окончания сигналов.

Система чисел с_n называется обобщенным спектром сигнала s(t) в ортогональной системе функций φ_n(t).

При n=k в равенстве (3) интеграл равен квадрату нормы функции φ_n(t):

. (4)

Выбирая специальным образом постоянные коэффициенты в функциях φ_n(t), можно добиться условия нормировки, при котором при любом n. Тогда система функций φ_n(t) называется ортонормированной [1, 2]. При этом спектральные коэффициенты c_n могут быть найдены из выражения:

(5)

которое является скалярным произведением функций s(t) и φ_n(t) [1, 2].

Равенство (5) может быть доказано подстановкой в него разложения (2) с учетом условий ортогональности (3) и нормировки (4) при .

Частным случаем представления (2) является тригонометрический ряд Фурье:

(6)

где ;

;

;

Т – интервал времени, на котором существует процесс s(t), или период сигнала s(t), если он является периодическим.

Как видно из приведенных выражений, ортогональной системой базисных функций в данном случае является система тригонометрических функций:

1, cos ωt, sin ωt, cos 2ωt, sin 2ωt, … (7)

где – частота первой гармоники сигнала s(t).

Как указано выше, представление сигнала s(t) тригонометрическим рядом Фурье справедливо в случае существования сигнала s(t) на конечном отрезке времени длительностью Т (тогда его представление рядом (6) справедливо только для значений времени t, находящихся на этом отрезке) или для периодического сигнала с периодом T. Тогда ряд (6) справедлив для любых моментов времени.

Если сигнал s(t) имеет спектральную функцию (спектральную плотность) G_S(ω), отличающуюся от нуля на отрезке частот , то он может быть представлен своими отдельными значениями (отсчетами), следующими через интервал времени, Δt=1/2F_в, где F_в – верхняя частота спектра s(t).

При этом выполняется равенство:

(8)

в котором – отдельные значения (отсчеты) сигнала, играющие роль спектральных коэффициентов с_n в равенствах (2) и (5), а функции

(9)

образуют систему ортогональных базисных функций.

Сформулированное выше положение о возможности представления непрерывного сигнала своими отдельными (дискретными) значениями в отечественной литературе часто называется теоремой Котельникова или теоремой отсчетов. Практическое значение ее заключается в том, что для передачи через канал связи непрерывного сигнала (сообщения) s(t) с ограниченной полосой частот достаточно передавать последовательность его дискретных значений , следующих через интервал дискретизации .

Для восстановления s(t) на приемной стороне при этом необходимо сформировать процесс

(10)

где δ(t) – дельта-функция,

и подать его на вход идеального ФНЧ с частотой среза F_в, импульсной реакцией которого является функция:

(11)

где К_ф(0) – значение коэффициента передачи фильтра на нулевой частоте.

Полагая К_ф(0)=1/2F_в, можно получить на выходе фильтра сигнал, описываемый функцией (8), если на вход подать сигнал s₁(t), описываемый выражением (10).

Однако процессы, имеющие спектральную плотность, удовлетворяющую условиям теоремы отсчетов, могут быть предсказаны на сколь угодно большой отрезок времени вперед и, следовательно, не могут нести информацию. Реальные процессы, являющиеся переносчиками информации, могут иметь, спектральную плотность, равную нулю, только в отдельных точках частотной оси. Поэтому их временная дискретизации должна сопровождаться искажением формы восстановленного процесса и, следовательно, потерями информации [2]. Можно показать, что относительная среднеквадратичная ошибка, вызываемая дискретизацией непрерывного процесса x(t), может быть найдена из выражения

(12)

где S_x(t) – спектральная плотность мощности процесса x(t);

F_д=1/∆t – частота дискретизации.

Как следует из равенства (12), величина среднеквадратичной ошибки, вызванной дискретизацией, определяется энергией части сигнала х(t), содержащейся в участке спектра, отброшенном предположением о верхнем значении его частоты F_в = 0,5F_д.

Наряду с указанной, существуют дополнительные ошибки, которые вызваны невозможностью формирования сигнала на приемной стороне в полном соответствии с формулой (8), так как на практике невозможно сформировать импульс, подобный δ-функции, и невозможно создать идеальный ФНЧ. Замена δ-функции импульсом конечной амплитуды и конечной длительности, как и замена идеального ФНЧ реальным, частотная характеристика которого не имеет нулевого коэффициента передачи на отрезке частот конечной длительности, приводит к ошибкам, которые в первом приближении могут быть оценены методами, разработанными для оценки значений комбинационных искажений, возникающих при демодуляции сигналов с АИМ фильтром нижних частот.