1. Изучить раздел теории случайных процессов, посвященный корреляционному анализу совокупности двух случайных функций по конспекту лекций, литературе [1-3] и настоящим указаниям.

2. Рассчитать и построить функции взаимной корреляции случайных процессов X₂(t) и X₃(t) и их производных в зависимости от для процесса X₂(t) и его производной (в выражении для функции взаимной корреляции множитель перед ней не учитывать), и при α=0,2 для процесса X₃(t) и его производной (множитель ω₀ перед не учитывать).

3. Составить функциональную схему измерений с указанием используемых приборов. Разработать методику измерений – последовательность выполнения лабораторной работы, выбор значений задержки для каждого из процессов. Заготовить таблицы измерений.

4. Подготовить ответы на контрольные вопросы, сформулированные в п.7.

4. Лабораторное задание

   1. Составить из блоков пользовательской библиотеки структурную схему модели измерительной установки согласно рисунку 4. Величину задержки в блоке XY-Correlometer задать равной 0. С помощью управляемого переключателя Manual Switch подключить генератор гауссового белого шума. Входы коррелометра подсоединить к выходному процессу и его производной (на выходе 2RC-цепи). К выходу коррелометра подключить цифровой вольтметр.

   2. Провести измерения, необходимые для построения функции взаимной корреляции , последовательно увеличивая величину задержки в коррелометре от 0 с до 5 с. Построить функцию на миллиметровой или клетчатой бумаге. Временной интервал моделирования задать равным: Start time = 1e-2 c, Stop time = 500 c, максимальный шаг интегрирования задать равным 1е-2 с.

   3. Провести аналогичные измерения и построить функции взаимной корреляции процесса в двух модификациях: при отсутствии замыкания резистора R в RLC-цепи (коэффициент передачи по умолчанию ) и при замыкании ключа (коэффициент передачи ).

   4. Перейти в систему MATLAB, запустить М-функцию обработки результатов LabRabRCS5Obr и провести анализ всех шести графиков зависимостей авто- и взаимных корреляционных функций (случай подключения генератора гауссового белого шума). Для этого на всех координатных осях указать теоретические и соответствующие экспериментальные зависимости и сопоставить последние с графиками взаимных корреляционных функций, построенных с использованием коррелометра и цифрового дисплея. Сделать вывод об эргодичности исследуемых случайных процессов.

   5. Подключить ко входу цепей генератор равномерного белого шума и повторить измерения функций взаимной корреляции и согласно пунктам 5.2 и 5.3, а также провести сравнительный анализ полученных шести графиков зависимостей авто- и взаимных корреляционных функций (случай подключения генератора равномерного белого шума) с подобными графиками, полученными в пункте 5.4.

5. Требования к отчету

Отчет должен содержать формулировку целей лабораторной работы, функциональную схему установки с подключенными внешними приборами, структурную схему её программной модели, результаты домашней подготовки – графики функций автокорреляции и взаимной корреляции процессов X₂(t) и X₃(t) и их производных в зависимости от нормированного времени θ, таблицы и графики экспериментальных исследований, выводы по результатам исследований и сравнения их с результатами расчетов.

4. Контрольные вопросы

   1. Дать определение функции взаимной корреляции, перечислить ее основные свойства.

   2. Записать выражения, связывающие взаимную спектральную плотность мощности двух случайных процессов с функцией взаимной корреляции. Указать взаимосвязь взаимных спектральных плотностей и .

   3. Указать способы нахождения функций взаимной корре-ляции случайных процессов на входе и на выходе линейной цепи.

   4. Доказать выражение, связывающее функцию взаимной корреляции производного случайного процесса с его функцией автокорреляции, без использования взаимной спектральной плотности.

   5. Получить выражение для взаимной спектральной плотности случайного процесса и его производной.

   6. Перечислить основные свойства функции взаимной корреляции стационарного случайного процесса и его производной.

   7. Разработать функциональную схему аппаратурного метода исследования функции взаимной корреляции двух случайных процессов.

   8. При каких условиях усреднение по множеству при анализе функции взаимной корреляции может быть заменено усреднением по времени?

Лабораторная работа № 6 исследование автокорреляционной функции суммы периодического сигнала и широкополосного шума

1. Цель работы

Исследование функций корреляции периодических сигналов, наблюдаемых в смеси с широкополосным шумом, и методов определения параметров сигнала по функции автокорреляции смеси сигнала и шума.

2 Автокорреляционная функция суммы сигнала

и широкополосного шума

В настоящей лабораторной работе рассматриваются корреляционные свойства суммы y(t) = S(t) + n(t), где S(t) – периодический сигнал, n(t) – стационарный случайный процесс.

В соответствии с положениями теории вероятностей и теории случайных процессов [1–3], математическое ожидание суммы y(t) равно

M [y(t)] = M [S(t)] + M [n(t)] (1)

где M [х(t)] – математическое ожидание процесса х(t).

Математическое ожидание M [n(t)] шумовой помехи, как правило, равно нулю. Таким образом, в большинстве реальных ситуаций справедливо равенство:

M [y(t)] = M [S(t)] (2)

Если сигнал S(t) не имеет случайных параметров, то его математическое ожидание равно самому сигналу [1-3]:

M [S(t)] = S(t)

В этом случае смесь y(t) является нестационарным случайным процессом. Функцией корреляции смеси сигнала и шума y(t) в теории случайных процессов [3] принять считать:

(3)

где m_y(t) = M[y(t)] – математическое ожидание процесса y(t).

Таким образом, если следовать этому принципу, то с учетом (2) при неслучайном сигнале функция корреляции смеси y(t) равна функции корреляции шума n(t) и не зависит от сигнала S(t) или его параметров. В тоже время в теории сигналов существует понятие функции автокорреляции сигнала [3]:

(4)

В связи с этим на практике зачастую считают функцию корреляции суммы y(t) суммой функций корреляции сигнала и помехи.

(5)

что, строго говоря, справедливо для сигнала S(t), являющегося случайным процессом, не зависящим от шума n(t).

В случае стационарного шума n(t) и определения функции корреляции сигнала K_S(τ) в соответствии с (4) равенство (5) приобретает вид, используемый в настоящей лабораторной работе:

K_y(τ) = K_n(τ) + K_S(τ), (6)

где функция корреляции шума K_n(τ) может быть найдена усреднением по времени, если случайный процесс n(t) помимо стационарности является еще и эргодическим [3,4]:

(7)

Таким образом, для вычисления функции корреляции процесса y(t) может быть применена процедура, использованная в лабораторной работе № 4, в которой функция усреднения по времени выполняется фильтром нижних частот, а задержка τ осуществляется линией задержки с отводами при дискретном изменении времени задержки τ_з.

При периодическом характере сигнала с увеличением сдвига τ первое слагаемое в равенстве (6) стремится к нулю, тогда второе слагаемое является периодическим процессом, форма которого определяется сверткой сигнала с самим собой (равенство (4)). При гармоническом сигнале S(t) = U_ccos (ω₀t+φ) его функцию корреляции K_S(τ) можно найти изменением выражения (4), заменив усреднение за бесконечное время средним за период T_п=2π/ω₀:

(8)

где учтено, что интеграл от гармонической функции за период равен нулю.

При экспоненциальной функции корреляции шума

, (9)

где Т – постоянная времени RC-цепи, формирующей шум n(t) из широкополосного случайного процесса.

Х арактер функции корреляции суммы y(t) = n(t) + S(t) представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График функции корреляции К_у(τ)

Сплошной жирной линией представлена функция корреляции К_у(τ), пунктиром – функция корреляции сигнала (8), сплошная тонкая линия показывает уровень, характеризующий удельную среднюю мощность сигнала P_S = K_S(0) = 0,5 U₀².

Как видно из графика, при достаточно большом времени сдвига τ функция корреляции шума затухает и можно наблюдать функцию корреляции сигнала S(t), если он присутствует в смеси y(t), и измерить некоторые его параметры: удельную мощность P_S и период с последующим вычислением частоты ω₀. Применение представленного метода, очевидно, тем успешней, чем больше время задержки τ_з по сравнению с временем корреляции шума и периода сигнала, а также, естественно, чем больше значение отношения средней мощности сигнала P_S к мощности шума P_n=σ_n².