2.24. Рівняння нерозривності.

Рівняння нерозривності зв’язує густину струму з густиною заряду в системі. Воно є прямим наслідком фундаментального закону збереження електричного заряду.

Розглянемо провідник, в якому створене електричне (не електростатичне!) поле . Це поле зумовлює виникнення в провіднику електричного струму з густиною .

Побудуємо всередині провідника замкнену нерухому поверхню (рис. 19) і обчислимо струм , що проходить через цю поверхню. Згідно з визначенням (2.23.8)

. (2.24.1)

Згідно з законом збереження електричного заряду, вихід заряду за межі області через замкнену поверхню супроводжується синхронним зменшенням заряду в ; отже

. (2.24.2)

З рівнянь (2.24.1) і (2.24.2) маємо

, (2.24.3)

звідки, після переходу до інтегралу по об’єму в лівій частини знаходимо

. (2.24.4)

Рівняння (2.24.4) є справедливим для довільної області інтегрування . Це означає, що ми маємо право перейти від рівності інтегралів до рівності підінтегральних функцій

. (2.24.5)

Диференціальне рівняння (2.24.5) і має назву рівняння нерозривності.

У випадку стаціонарного (постійного) струму густина заряду не залежить від часу. Отже, для постійного струму рівняння нерозривності набуває вигляду

. (2.24.6)

На підставі рівняння (2.24.6) можна сформулювати наступне твердження: лінії постійного струму в просторово обмежених провідниках завжди є замкненими (лініями струму називаються лінії, в кожній точці яких дотична за напрямком співпадає з вектором густини струму).

Приведене вище твердження означає, зокрема, що протікання постійного електричного струму є можливим тільки в замкнених електричних ланцюгах (контурах).

2.25. Сторонні сили. Поле сторонніх сил. Електрорушійна сила.

Сформулюємо коротко деякі основні результати розділів 23 і 24.

1. Електричний струм є просторово орієнтованим рухом носіїв струму.

2. Кількісною локальною характеристикою електричного струму є вектор густини струму , або зв’язана кількісно з густиною струму швидкість дрейфу .

3. Для постійного струму величини сили струму, густини струму і швидкості дрейфу на залежать від часу.

4. Для постійного струму лінії струму або, що те ж саме, траєкторії дрейфового руху носіїв струму є замкненими.

Протікання струму в усіх типах провідників, за виключенням надпровідників, супроводжується дисипацією енергії (наприклад, нагріванням провідника). Отже, необхідною умовою існування постійного струму є надання носіям струму певної енергії, необхідної для переміщення носіїв по замкнених контурах.

Позначимо через енергію, яку втрачає носій струму при переміщенні по замкненому контурі . Для протікання постійного струму на носій струму має діяти сила , така, що

. (2.25.1)

Зупинимося на характерних властивостях сили в рівнянні (2.25.1). Строго кажучи, складовими сили можуть бути сили різної фізичної природи, зокрема і електростатичні сили. Єдине, що можна стверджувати с упевненістю, полягає в наступному: сила , що спричиняє рух носіїв струму по замкнених контурах не може мати чисто електростатичної природи.

Довести це твердження неважко. Для електростатичного поля

(2.25.2)

внаслідок потенціальності електростатичного поля.

Із сказано вище стає зрозумілим, що для створення і підтримання в контурі постійного струму необхідна присутність непотенціальної сили , яка має назву сторонньої сили. Сумарна (результуюча) сила , що дії на носій струму, може бути подана у вигляді

. (2.25.3)

З огляду на справедливість (2.25.2), маємо

. (2.25.4).

В рівнянні (2.25.4) зручно перейти до “польових” змінних

. (2.25.5)

Величина має назву напруженості поля сторонніх сил.

З урахуванням (2.25.5), рівняння (2.25.4) набувають вигляду

(2.25.6)

Величина

(2.25.7)

називається електрорушійною силою. Нерівність нулю інтегралу в (2.25.7) свідчить про непотенціальність поля сторонніх сил .

Обчислимо інтеграл від функції по незамкненому контуру , який є частиною замкненого контуру . Маємо

= + (2.25.8)

де - електрорушійна сила на ділянці , - потенціали початку і кінці ділянки .

Поле сторонніх сил може бути просторово локалізованим, тобто діяти не по всій довжині замкненого контуру , а тільки на окремих його ділянках; такі ділянки мають назву неоднорідних. Поряд з неоднорідними ділянками, в контурі можуть існувати однорідні ділянки, на яких , і результуюче поле . Для однорідних ділянок провідника рівняння (2.25.8) спрощується

(2.25.9)