2.9. Електростатичне поле системи зарядів на великих відстанях. Дипольне наближення.

Розглянемо систему зарядів, зосереджених в об’ємі і розподілених з просторовою густиною Згідно з принципом суперпозиції для потенціалу (2.6.11), потенціал розглядуваної системи в точці спостереження (рис. 11)буде визначатись рівнянням

. (2.9.1)

Дослідимо поведінку потенціалу системи на великих відстанях від неї, тобто при умові, що набагато більше за лінійні розміри системи.

Введемо допоміжні густини заряду і

(2.9.2)

(2.9.3)

З визначень (2.9.2) і (2.9.3) випливає очевидне

(2.9.4)

Введемо позначення

(2.9.5)

Зрозуміло, що

. (2.9.6)

Для електронейтральної системи .

Розкладемо функцію в ряд в околі точки , враховуючі, що для всіх має місце . В результаті отримаємо

. (2.9.7)

Підставимо вирази (2.9.7), (2.9.2) і (2.9.3) в формулу (2.9.1)

. (2.9.8)

Операція скалярного добутку є лінійною. Тому

(2.9.9)

Визначимо розташування електричних центрів і додатних і від’ємних зарядів в системі

(2.9.10)

Використання електричних центрів в рівнянні (2.9.9) призводить до наступного результату

. (2.9.11)

Якщо система не є електронейтральною, другий доданок в правій частині рівняння (2.9.11) зменшується із зростанням значно швидше, ніж перший доданок. Отже, на великих відстанях потенціал такої системи майже співпадає з потенціалом точкового заряду.

Зовсім інша картина виникає у випадку електронейтральності системи, коли і, отже, . Для потенціалу електронейтральної системи з (2.9.11) знаходимо вираз

, (2.9.12)

який співпадає з виразом для потенціалу диполя.

Для електронейтральної системи ( вираз для дипольного моменту систедругого рівняння (2.9.12) і визначень (2.9.10) отримуємо

(2.9.13)

звідки, враховуючи визначення (2.9.2) і (2.9.3) і рівність (2.9.4) знаходимо

. (2.9.14)

Основний результат, отриманий в розділі 9, можна сформулювати у вигляді наступного твердження: електростатичне поле електронейтральної системи зарядів на великих відстанях від неї співпадає з полем еквівалентного диполя.

2.10. Електронейтральна система в однорідному електростатичному полі.

Проаналізуємо поведінку електронейтральної системи зарядів в однорідному електростатичному полі . Ми обмежимося випадком “жорстких” систем, тобто таких систем, конфігурація яких (форма, розподіл заряду в системі і таке інше) не змінюється під дією зовнішнього електростатичного поля. Такі системи можуть реагувати на дію зовнішнього силового поля “як ціле”: переміщуватись в просторі, обертатись, але не деформуватись (в широкому розумінні цього терміну).

Обчислимо силу, яка діє на електронейтральну систему в однорідному електростатичному полі (рис. 12). За означенням,

. (2.10.1)

За принципом суперпозиції, сила , яка діє на систему, описується виразом

(2.10.2)

Для електронейтральної системи ; отже, сила, яка діє на електронейтральну систему в однорідному електростатичному полі дорівнює нулю (в неоднорідному полі електронейтральність системи не є достатньою умовою рівності нулю сили, що діє на систему!).

Перейдемо до обчислення моменту сил, що діють на електронейтральну систему в однорідному електростатичному полі. Згідно із стандартним визначенням моменту сили маємо

. (2.10.3)

Сумарний момент сил , який діє на розглядувану систему, очевидно, дорівнює

. (2.10.4)

Враховуючи, що зовнішнє електростатичне поле є однорідним, з (2.10.4) знаходимо

, (2.10.5)

або, згідно з визначенням (2.9.14)

, (2.10.6)

де - як раніше, дипольний момент системи. Очевидно, є ортогональним і .

Умовою рівноваги відносно обертання є наступна рівність: . Цій умові відповідають дві взаємні орієнтації векторів і : і . Перша з цих взаємних орієнтацій відповідає стану стійкої рівноваги, друга – стану нестійкої рівноваги. Доведення цього твердження дамо нижче.

Електростатичне поле є потенціальним. Отже, будь-яка система зарядів (зокрема, електронейтральна), вміщена в електростатичне поле має певною потенціальною енергією (звичайно, до цієї енергії не входять доданки, які визначають енергію взаємодії окремих частин системи – так звана “власна енергія” системи!).

З курсу механіки відомо , що поворот системи на малий кут (comment: якщо кут обертання малий, його можна розглядати як вектор, напрямок якого співпадає з напрямком осі обертання) супроводжується виконанням роботи . З огляду на те, що момент сил формується зовнішнім (по відношенню до розглядуваної системи) електростатичним полем, яке, власне, і виконує роботу, запишемо традиційне співвідношення , яке означає, що “робота, здійснена над системою потенціальним силовим полем дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи в цьому полі”.

Зваживши на те, що система обертається навколо осі, колінеарної , маємо

. (2.10.7)

(в рівнянні (2.10.7) і нижче - кут між векторами і ) звідки, після інтегрування по куту знаходимо

. (2.10.8)

Не зменшуючи загальності, в рівнянні (2.10.8) можна покласти

(2.10.9)

після чого отримуємо для потенціальної енергії диполя в однорідному електростатичному полі наступне

. (2.10.10)

Оскільки стан стійкої рівноваги відповідає мінімуму потенціальної енергії, з (2.10.10) ясно, що стійка рівновага диполя у зовнішньому однорідному електростатичному полі реалізується при паралельності векторів і .