1.5. Оценка случайных погрешностей

Адекватным математическим аппаратом описания случайных погрешностей является теория вероятностей. Согласно последней слу­чайная величина наиболее полно характеризуется своим законом рас­пределения (или плотностью распределения) вероятностей. Измери­телям чаще всего приходится принимать нормальную и равномерную плотность распределения. Возможны и другие законы распределения,

которые обычно аппроксимируют­ся стандартными функциями. Если выполняются предположения о том, что погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значе­ний, при большом числе измерений частота появления погрешностей, равных по абсолютной величине, но различного знака, одинакова и ма­лые погрешности встречаются чаще, чем большие, то тогда для описания случайных погрешностей следует применять нормальный закон распределения вероятностей, для ко­торого

(1.4)

у (А) = (1/ал/2я)ехр(-Д²/2а²),

где j'(A) — плотность вероятностей случайной погрешности Д; а — среднее квадратическое значение случайной погрешности.

Кривые, соответствующие выражению (1.4) для разных значений а, приведены на рис. 1.1. Видно, что при малых значениях о вероятней получить малую погрешность измерений, нежели при больших.

Вероятность того, что погрешность результата измерения находится между заданными предельными значениями и Д₂, вычисляется по формуле

У'
	^sv ,вз=3 1-1 ^--r- »<■

Рис. 1.1.

о

P(Ai < Д < Д₂) = j y(A)dA = Д1

1

= J - - ,^ехР

(1.5)

dA .

2 а

Д! ау2я

Интеграл в формуле (1.5) можно вычислить, используя таблицы

² _ ₂

функции Лапласа Ф(г) = 2/\/2я/ е~^г I²dt, приводимые в книгах по

о

(1.6)

теории вероятностей и статистической обработке экспериментальных результатов [2, 28]. Нетрудно заметить, что

P{A_t < Д < Д_а) = (1/2) [Ф(Д₂/а) - Ф(А₁/о)].

В табл. 1.1 приведены значения вероятностей для некоторых ин-

в о

тервалов [Ац, Д₂], заданных в единицах о.

Таблица 1.1

о о Вероятность Р

= J - - ,^ехР 12

Щ, = LI²12, (2.60) 64

SPi + = <ft> + (2.80) 95

т_пжт_п_ о = т„_ {жт_п _₂) =••■ 111

^Hi = ^C<bH^a6Hll²Vo^w^- (³¹⁵> 152

ч> = V' <⁴-⁴⁾ 158

у 1 = Уш + 4у1 160

⁼ S₃(y_2max — yimin) ⁼ Уътах — Узтт • (4-16) 162

*_ос=/00- (4.39) 169

У =Г¹(х_ос) ^ Г¹^), (4-40) 169

\f I if и ^и*^ых 212

I=kUcow, (4.113) 241

m_TL 283

I = ArV(p, - РгУ, (4-163) 308

л яг, ,-Л 356

= f(a 1, а₂, ..., а 366

u(t) = t/_mOsin[0(O], (5.5) 397

Fj (xi, х₂, х_т, у 1, у₂, У_п) = 0; 442

^рг (Xi, Х₂ Х_т, у,, у₂, ..., У_и) = 0; 442

! = (р — 7-, 514

Уравнение (2.6) называется уравнением преобразования механизма прибора, оно связывает показания прибора со значением измеряемой величинь}_; и характеризует свойства измерительного прибора в целом. Здесь и далее для простоты не проводится различия между углом а и показанием прибора, хотя в действительности отсчетное устройство прообразует угол а в пропорциональное ему линейное перемещение.