7.Дополнительный материал

7.1 Векторная алгебра

Общие определения и свойства векторов.

Вектор- это геометрический объект, характеризуемый длиной и направлением. Визуально вектор можно представить как направленный отрезок.

Для задания произвольного вектора нужно задать три числа, которые называются его проекциями или компонентами. В декартовой системе координат вектор выражается через свои проекции следующим образом:

Геометрический смысл проекции на рисунке:

Длина вектора в декартовой системе координат равна:

При переходе от одной декартовой системы координат (x,y,z) к другой (x`,y`,z`) вектор преобразуется: тройка чисел (A<sub>x,</sub>,A<sub>y</sub>,A<sub>z</sub>) переходит в новую тройку (A`_x,,A`<sub>y</sub>,A`_z). При этом преобразовании модуль или длина вектора сохраняется:

Равенство векторов

Два вектора и равны друг другу, если:

С геометрической точки зрения два вектора равны друг другу, если они имеют одну и ту же длину и направлены в одну и ту же сторону. Данное определение означает, что существует бесконечное большое число векторов равных некоторому вектору . Рисунок, представленный ниже, отражает это свойство векторов.

Все вектора на этом рисунке равны друг другу.

Параллельный перенос векторов

Как показывает рисунок, при параллельном переносе величина вектора не изменяется.

Векторные операции

Умножение вектора на скаляр

Операция называется умножением вектора на скаляр. При такой операции длина вектора увеличивается в раз, а направление вектора сохраняется. В декартовой системе координат:

Сложение векторов

Суммой двух векторов и является новый вектор у которого проекции равны суммам соответствующих проекций векторов и :

Геометрическим представлением сложения векторов является правило параллелограмма.

Вычитание векторов

Вычитание двух векторов является операция обратная сложению:

Геометрическим представлением вектора является вектор, соединяющий конец вектора и .

Скалярное произведение

Из двух векторов и можно образовать скалярное произведение:

Величина скалярного произведения равна:

или здесь - угол между векторами и .

Векторное произведение

Операция векторного произведения из двух векторов и образует новый вектор: .Модуль векторного произведения равен здесь -угол между векторами и .

Геометрически модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Направление векторного произведения определяется правилом правого винта: если головку винта вращать в плоскости векторов и по кратчайшему направлению от вектора к вектору , то направление хода винта укажет направление вектора . Из этого определения следует, что вектор перпендикулярен плоскости векторов и .

Проекции вектора определяются с помощью определителя:

Откуда следует, что:

Основные векторные тождества:

7.2.Таблицы производных и интегралов

ФУНКЦИЯ	ПРОИЗВОДНАЯ
xn	nxn-1
1/x	-1/x2
1/xn	-n/xn+1
	1/2
eX	ex
exn	nenx
aX	ax lna
ln x	1/x
sin x	cos x
cos x	- sin x
tg x	1/cos2 x
ctg x	- 1/sin2 x
vu	u'/2vu
ln u	u'/u
u/v	(vu'-v'u)/v2
arcsin x	1/
arccos x	-1/
arctg x	1/(1+x2)
arcctg x	-1/(1+x2)

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ; .