Задача 2
Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью V0 , попадает в покоящийся на шероховатом горизонтальном столе деревянный шар массой М и радиусом R на расстоянии l ниже центра масс шара и застревает в нем. Найти установившуюся скорость V шара. Считать, что m<<M.
1.Построение физической модели
Для построения физической модели задачи воспользуемся близким по характеру примером из бильярда. Как известно, при ударе кием по бильярдному шару, тот начинает катиться по поверхности стола. Импульс и момент вращения, кинетическая энергия шара возникли в результате столкновения кия с шаром. С учетом изложенного, картину столкновения пули и шара можно описать так. Быстролетящая пуля проникает в деревянный шар, тормозится и передает свой импульс, энергию и момент импульса шару. Так как удар неупругий, то механическая энергия не сохраняется, часть ее тратится на преодоление сил сопротивления материала. Полный импульс и момент импульса системы, напротив, сохраняются, так как для этих законов сохранения нет таких жестких ограничений как действие потенциальных сил. Важный момент данной задачи - скоротечность столкновения пули с шаром. Процесс проникновения и торможения пули происходит за десятые доли миллисекунды. За это время центр масс шара не успевает сколько-нибудь заметно сместиться из-за закона инерции. Второй важный момент задачи - учет шероховатости поверхности, который означает необходимость учета силы трения на начальном этапе движения шара. Эта сила может быть силой скольжения, если происходит качение шара с проскальзыванием, или сила трения качения, если проскальзывания нет.
2. Основные понятия задачи
В соответствии с физической моделью, имеем последовательность явлений:
неупругое столкновение пули с шаром с полной передачей импульса и момента вращения;
качение шара после столкновения при действии силы трения и заданных начальных условиях.
Для описания этих явлений необходимо знание:
1) импульса и момента импульса пули:
2) импульса и момента импульса шара:
;
3) условия непроскальзывания шара:
4) уравнений движения твердого тела:
,
.
3. Логическая схема решения
В соответствии с физической моделью, данную задачу можно разбить на две подзадачи: столкновение и качение.
Описание столкновения. При столкновении пули и шара сохраняется полный импульс и момент импульса системы. Математически это выглядит так:
При написании последнего уравнения учтено, что ось вращения проходит через центр масс шара и параллельна плоскости качения.
Итак, сразу же после столкновения центр масс шара движется со скоростью -
,
а сам шар вращается с угловой скоростью-
Легко видеть, что
.
Это означает, что качение тела начинается с проскальзывания.
Описание качения
Эта подзадача во многом повторяет задачу о качении колеса (см. задачу 1). Поэтому, воспользуемся пояснениями предыдущей задачи.
Уравнения движения шара после столкновения:
Разделим первое уравнение на второе:
Преобразуем это уравнение к виду удобному для интегрирования:
и проинтегрируем в пределах от Uo до Uкач и от o до кач .
При интегрировании необходимо учесть один нюанс. Он связан с тем, что знаки 0 и кач разные. Это показано на рисунке:
С учетом сказанного:
,
,
.