Задача 1.26

3 кг водорода с начальной температурой t₁=0°С и абсолютным давлением p₁=0,1 МПа нагреваются при постоянном давлении до температуры t₂=200⁰ C. Определить начальный и конечный объем газа, количество подводимого к нему тепла и изменение его энтропии.

Решение

Изобразим данный процесс в pv- и Ts-диаграммах.(Рис. 3,Рис. 4)

Рис. 3

Рис. 4

Считая водород идеальным газом, можем записать для него уравнение состояния.

(30)

Процесс изобарный, поэтому

(31)

Из уравнения (29) следует

(32)

Элементарное количество подводимой теплоты определяется из выражения

(33)

В нашем случае

(34)

Тогда

(35)

Изменение энтропии вычисляется по (36)

(36)

Ответ:

Вопрос 1.26

Как, зная средние теплоемкости от 0 до t°, вычислить среднюю теплоемкость в интервале температур от t₁ до t₂. Какая из теплоемкостей — от 0 до t₁°, от 0 до t₂° или от t₁ до t₂ — будет иметь наибольшее значение и почему? Проиллюстрируйте это на графике.

Ответ:

(37)

Теплоемкость зависит от параметров, при которых протекает процесс, например от давления и температуры. Эта зависимость чаще все описывается полиномом:

(38)

Либо линейно:

(39)

Линейная зависимость с от t изображена на (Рис. 5).

Рис. 5

_{Также на этом рисунке отмечены} .

Очевидно, что наибольшей будет .Это объясняется тем, что с увеличением верхнего предела температуры теплоемкость будет увеличиваться, а с уменьшением нижнего - уменьшаться.

Задача 2.8

2 кг метана с начальной температурой t₁=400° С с абсолютным давлением p₁=0,6 МПа адиабатно расширяются так, что внутренняя энергия его уменьшается на 50 кДж. Определить начальный и конечный удельные объемы газа, а также конечные температуру и давление его. Найти также изменение энтальпии газа.

Решение

Изобразим этот процесс в pv- и Ts – диаграммах (Рис. 6, Рис. 7)

Рис. 6

Рис. 7

Из первого закона термодинамики следует, что работа адиабатного процесса идет только на изменение внутренней энергии:

(40)

По условию задачи 50 кДж, из уравнения 38 следует L= 50 кДж.

Известно, что

(41)

Из(13), (39) получим

(42)

_{Откуда следует}

(43)

Тогда

= 657,27К

Для адиабатного процесса

(44)

Из (42) следует

(45)

Здесь к – показатель адиабаты. Для метана, поскольку он многоатомный газ, к=1,33

Тогда

Из уравнения Менделеева- Клайперона для одного килограмма газа следует, что

(46)

Тогда

Известно, что в адиабатном процессе

(47)

Найдем конечный удельный объем газа.

Зависимость между работой и технической работой выражается формулой

(48)

Тогда запишем второй закон термодинамики.

(49)

Т.к. Q=0, то

(50)

Из (48) найдем изменение энтальпии

Ответ:

Вопрос 2.8

Линия какого процесса – адиабатного или изотермического – будет идти круче в pv-диаграмме и почему? За счет чего совершается работа в процессе адиабатного и изотермического расширения?

Ответ

Для нахождения линии изотермического процесса в pv-диаграмме определим производную dp/dv . Запишем уравнение состояния

(51)

Из (51) следует

(52)

Дифференцирование (52) дает

(53

С учетом уравнения состояния идеального газа находим

(54)

Cотношение (54) указывает, что наклон изотермы в pv-диаграмме всегда отрицателен и возрастает с увеличением давления, т.е. изотерма представляет гиперболу, проходящую слева - направо, сверху - вниз.

Найдем производную dp/dv для адиабатного процесса. Из(51)имеем

(55)

Дифференцирование (52) дает

(56)

С учетом уравнения адиабатного процесса (57)

(57)

можно записать

(58)

Cотношение (58) указывает на то, что наклон адиабаты в pv-диаграмме, как и для изотермы, всегда отрицателен и возрастает с увеличением давления. Однако адиабата представляет гиперболу более крутую, чем изотерма, поскольку у последней абсолютное значение производной dp/dv в любой точке меньше в k раз, что вытекает из сравнения производных адиабатного и изотермического процесса.

Т.к. , то изменение внутренней энергии для изотермического процесса равно нулю:

(59)

Запишем первый закон термодинамики для закрытой системы.

(60)

Уравнения (59), (60) позволяют записать

(61)

Выражение (61) говорит о том, что работа в изотермическом процессе осуществляется полностью за счет теплоты процесса.

Так как в адиабатном процессе dq = 0, то из первого закона термодинамики (60) следует, что работа адиабатного процесса полностью идет на изменение внутренней энергии ТС

dl = - du (62)

Изобразим изотерму и адиабату в pv-диаграмме (Рис. 8)

Рис. 8