Математическое ожидание

Возможные значения СВ могут быть сосредоточены вокруг некоторого центра. Этот центр является некоторым средним значением СВ, вокруг которого группируются остальные ее значения. Для характеристики такой особенности распределения СВ служит математическое ожидание, которое иногда называют центром распределения или средним значением СВ.

Для математического ожидания СВ Х приняты следующие обозначения: М[Х],М(Х),М_х,m_х, МХ.

Пусть имеется ДСВ Х, принимающая значения х₁, х₂,…,х_n с вероятностями р₁, р₂,…,р_n соответственно.

Опр. Математическим ожиданием МХ дискретной СВ Х называется сумма произведений всех возможных значений СВ на соответствующие вероятности появления этих значений, т.е. .

Если ДСВ принимает бесконечное счетное множество значений, то ее МХ выражается формулой , причем МХ существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Задача. Дискретная СВ Х задана рядом распределения

х	2	5	8	19
р	0.2	0.3	0.4	0.1

Найти МХ этой СВ.

МХ = 2*0.2+5*0.3+8*0.4+19*0.1=7

Для введения понятия математического ожидания, вспомним вероятностный смысл

- вероятность попадания СВ в интервал (х, х + Δх).

Опр. Математическим ожиданием МХ непрерывной СВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [а,в], называется определенный интеграл .

Если возможные значения СВ распределены на всей числовой оси,то . Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится, т.е. существует.

Задача. Непрерывная СВ Х задана дифференциальной функцией распределения

. Найти МХ этой СВ.

.

Появление такого результата следовало ожидать, так как график ф-ции f(x) симметричен относительно х=2, т.е. х = 2 – среднее значение СВ.

Рассмотрим основные свойства математического ожидания, предварительно введя понятие независимой СВ.

Опр. Две СВ называются независимыми, если закон распределения вероятностей одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае СВ называются зависимыми.

1. Математическое ожидание алгебраической суммы двух СВ Х и У равна алгебраической сумме их МХ, т.е.

М(Х У)=М(Х) М(У).

2. Математическое ожидание произведения двух независимых СВ Х и У равно произведению их МХ, т.е

М(ХУ) = МХ*МУ.

3. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной, т.е.

МС = С.

4. Постоянный множитель может быть вынесен за знак математического ожидания ,т.е.

М(СХ)= СМХ.

5. Математическое ожидание отклонения Х – МХ СВ от ее математического ожидания МХ равно нулю, т.е.

М(Х – МХ)=0.

Разность Х – МХ показывает насколько отклонилось это значение СВ в данном опыте от МХ. Очевидно, что Х – МХ – центрированная СВ относительно центра распределения.

Дисперсия

На практике встречаются СВ, имеющие одинаковые математические ожидания, однако принимающие резко отличающиеся значения. У одних из этих СВ отклонения значений от математического ожидания небольшие, а у других, наоборот, значительны, т.е для одних рассеивание значений СВ вокруг математического ожидания мало, для других оно велико. Таким образом математическое ожидание характеризует поведение СВ далеко не полностью. Приведем следующий пример.

Пусть ДСВ Х и У заданы следующими рядами распределения

Х	2	3	4	5
Р	0.1	0.2	0.3	0.4

МХ = 2*0.1 + 3*0.2 + 4*0.3 + 5*0.4 = 4

У	-1	3	8	11
Р	0.2	0.5	0.2	0.1

МУ=(-1)*0.2+3*0.5+8*0.2+11*0.1=4

Отложим значения этих величин на числовых осях с одинаковым масштабом.

Приведенные рассуждения и пример свидетельствуют о целесообразности введения такой характеристики СВ, которая оценивала бы меру рассеивания значений СВ вокруг ее математического ожидания.

Х – МХ характеризует отклонение СВ от ее математического ожидания. Однако М(Х-МХ)=0, так как Х – МХ могут быть как положительные, так и отрицательные. Поэтому разумно ввести СВ (Х-МХ)² и рассмотреть ее математическое ожидание.

Опр. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ Х от ее математического ожидания МХ называют дисперсией СВ Х и обозначают ДХ

ДХ = М(Х-МХ)².

Очевидно, что закон распределения СВ Х и (Х-МХ)² одинаковы.

Если Х - дискретная СВ, то математическое ожидание (Х-МХ)² равно

Если Х – непрерывная СВ, то

.

Можно показать, что DX = M(X²)– M²(X).

Если СВ и ее математическое ожидание имеет одну и ту же размерность, то дисперсия имеет размерность квадрата СВ. Поэтому вводится среднее квадратичное отклонение - корень квадратный из дисперсии.

Задача. СВ задана следующим рядом распределения

Х	2	4	7	10	12
Р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

Найти МХ и DX этой величины.

xi	2	4	7	10	12
pi	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1
xipi	0.2	0.8	2.8	2.0	1.2	MX=7.0
xi-MX	-5	-3	0	3	5
(xi-MX)2	25	9	0	9	25
(xi-MX)2 pi	2.5	1.8	0	1.8	2.5	DX=8.6
xi2	4	16	49	100	144
xi2 pi	0.4	3.2	19.6	20.0	14.4	MX2=57.6

MX = 7, DX =8.6

DX = MX² –(MX)² = 57.6 - 49 = 8.6.

Задача. СВ задана дифференциальной функцией распределения

Найти DX.

,

.

Рассмотрим основные свойства дисперсии

1. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых СВ Х и У равна сумме дисперсий этих величин, т.е. .

2. Дисперсия постоянной величины равна нулю DC = 0.

3. Постоянный множитель С СВ Х можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат .

4. Дисперсия СВ Х равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ и квадратом ее математического ожидания .

Следствие 1. Дисперсии СВ Х и центрированной СВ (Х – МХ) равны между собой

.

Иногда бывает удобно использовать безразмерные центрированные СВ

- стандартная СВ.

Следствие 2. Математическое ожидание стандартной СВ ( )равно нулю, МZ=0

Следствие 3. Дисперсия стандартной СВ равна 1,DZ = 1

Центрированная СВ геометрически означает перенос начала координат в точку с абсциссой, равной МХ.

Опр. Значение непрерывной СВ Х, при котором плотность распределения f(x) имеет наибольшее значение, называется модой М₀.

Модой дискретной СВ называется такое значение СВ, для которого вероятность максимальна: .

Опр. Число М_е,если оно удовлетворяет равенству

, будем называть медианой, т.е.

- равновероятно, что СВ Х примет значение меньше М_е и больше М_е.