Теоремы сложения и умножения вероятностей

теорема умножения вероятностей	независимые события	р(АВ) = р(А)р(В).
	зависимые события	р(АВ) = р(А)р(В/A).
теорема сложения вероятностей	несовместные события	р(А+В) = р(А) + р(В)
	совместные события	р(А+В)=р(А) + р(В) – р(АВ)
	совместные зависимые события	р(А+В)=р(А)+ р(В) = р(А)р(В/A)
	совместные независимые события	р(А+В)=р(А) + р(В) – р(А)р(В)
	совместные независимые в совокупности события	р(А1+ А2+…+Аn) = 1 - .

Следствие 1. Сумма вероятностей попарно несовместных событий А₁,А₂,…,А_n, образующих полную группу, равна 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Док-во: .

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Опр. Условной вероятностью р(В/А) называется вероятность события В в предположении, что событие А уже наступило.

р(В/А)= l/m, где m – число исходов, благоприятных событию А, l – число исходов, благоприятных одновременному наступлению событий А и В.

Задача . В ящике 7 одинаковых по внешнему виду шаров с номерами от 1 до 7. Наудачу один за другим берут 2 шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что второй вынутый шар имеет нечетный номер (В), если первый вынутый шар имел но мер 3 (А).

Решение. Найдем р(В/А). Если 1-й вынутый шар «3», то осталось 6 шаров, среди которых 1,5,7 – нечетные номера.р(В/А)=3/6=1/2.

Задача . В коробке 9 одинаковых радиоламп, 3 из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять 2 радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

Решение. Вероятность того, что первая взятая лампа была в употреблении (событие А) равна р(А) = 3/9. После этого в коробке осталось 8 ламп, из которых 2 были в употреблении. Поэтому для события В, состоящего в появлении второй раз лампы, бывшей в употреблении, условная вероятность р(В/А) = 2/8. Следовательно,

р(АВ) = р(А)р(В/А) = 3/9*2/8 = 1/12.

Задача . Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет четное число очков, а на втором число, меньшее 6.

События А и В независимы: р(А) = 3/6, р(В) = 5/6, р(АВ) = р(А)р(В) = (3/6)(5/6) =5/12.

Задача . Вероятность поломки первого станка в течение смены равна 0.2, а второго – 0.13. Чему равна вероятность того, что оба станка потребуют наладки в течение смены?

Станки работают независимо р(АВ) = р(А)р(В) = 0.2*0.13 = 0.026.

Задача . Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0.7, а второго – 0.8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

р(А+В) = р(А) + р(В) – р(АВ) = р(А) + р(В) – р(А)р(В) = 0.7+0.8-0.7*0.8=0.94.

или

Задача . В гараж поступили 24 новые шины для автомобиля. Шины имеют одинаковый внешний вид. Изготовлены они на двух различных заводах, причем 10 шин изготовлены на 1-ом заводе, а остальные – на 2-ом. Четырем водителям необходимо заменить по одной шине. Какова вероятность того, что первые 3 водителя воспользуются шинами 2-го завода, а четвертый - шиной 1-го завода?

Решение.

А – 1-й водитель воспользовался шиной 2-го завода,

В - 2-й водитель воспользовался шиной 2-го завода,

С - 3-й водитель воспользовался шиной 2-го завода,

Д - 4-й водитель воспользовался шиной 1-го завода.

р(А) = 14/24, осталось 23 шины, 13 шин 2-го завода,

р(В/А) = 13/24, р(С/АВ) = 12/22, р(D/АВС) = 10/21,

р(АВСD) = (14/24)(13/23)(12/22)(10/21) = 65/759.

Задача.. В трех залах кинотеатра идут 3 различных фильма. Вероятность того, что на определенный час в кассе 1-го зала есть билеты равна 0.3, в кассе 2-го зала – 0.2, в кассе 3-го зала – 0.4. Какова вероятность того, что на данный час имеется возможность купить билет хотя бы на один фильм?

р(А+В+С) = 1 - = 1 – 0.7*0.8*0.6 = 0.664.