Законы распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение
Опр. Непрерывная СВ Х, принимающая значения на отрезке [а,в], имеет равномерное распределение, если плотность распределения f(x) имеет вид:
а,в – параметры
распределения.
С равномерным распределением встречаются всякий раз, когда по условию опыта величина Х принимает значения в конечном промежутке [а,в]. Все значения из этого промежутка возможны в одинаковой степени, причем ни одно из значений не имеет преимуществ перед другими. Вот примеры такого ряда: 1) Х – время ожидания на стоянке автобуса ( величина Х равномерно распределена на отрезке [0,l], где l - интервал движения между автобусами; 2) Х – ошибка при взвешивании случайно выбранного предмета, получающаяся от округления результата взвешивания до ближайшего целого числа ( величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [-0.5;0.5], где за единицу принята цена деления шкалы.
Легко убедиться, что
Построим функцию распределения
Найдем основные числовые характеристики
- совпадает с
серединой отрезка [а,в].
Экспоненциальное (показательное) распределение
Опр. Говорят, что СВ имеет экспоненциальное распределение с параметром λ, если она может принимать любые положительные значения и плотность распределения имеет вид:
Это распределение широко используется в теории надежности: время безотказной работы многих устройств имеет показательное распределение.
Нормальное распределение
Опр. Говорят,
что СВ Х имеет нормальное распределение
с параметрами а и σ > 0, если она
может принимать любые вещественные
значения и ее плотность распределения
имеет вид
а – любое, σ > 0.
Если Х имеет
нормальное распределение, то будем это
записывать в виде
.
N(0,1)
– стандартное нормальное распределение
f(x) – симметрична относительно прямой х = а. При уменьшении σ график стягивается к своей оси, симметрично х = а.
Функцию распределения F(x) нормальной СВ с параметрами а и σ можно выразить через Φ(х) – функцию распределения нормальной СВ с параметрами а=0 и σ=1. Для этого достаточно сделать замену переменных
- функция Лапласса
Вероятность того,
что СВ отклоняется от своего среднего
значения на величину nσ
равна
,
т.е.
Данная вероятность не зависит от параметров распределения
Правило 3-х «σ»:
Если СВ имеет нормальное распределение, то отклонение СВ от ее математического ожидания по абсолютной величине практически не превосходит утроенного среднеквадратичного отклонения.
Задача 1. Цена деления шкалы амперметра равна 0.1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0.02 А.
Решение. Ошибку округления можно рассматривать как СВ Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями.
.
Ошибка отсчета превысит 0.02, если она будет заключена в интервале (0.02;0.08).
.
Задача 2. СВ Х распределена по нормальному закону, причем МХ = 10, DX = 4. Найти:
Решение.
Задача 3. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.
Решение.
