Непрерывные случайные величины
Опр. С.В. называется непрерывной, если ее возможные значения заполняют непрерывно некоторый промежуток числовой оси ОХ (или несколько промежутков).
Для непрерывной С.В.получить частость отдельных значений не удается. Более того, вероятность любого отдельного значения непрерывной С.В. равна 0. Поэтому для характеристики подобных С.В. используют характеристики, указывающие на вероятности попадания С.В. в некоторую область значений.
Классический подход к определению непрерывной С.В. через ф-цию распределения.
Опр. Функция вида F(x) = P(X<x), указывающая вероятность попадания СВ в область (- , х) вещественных чисел называется функцией распределения С.В. Х.
Основные свойства функции распределения
1) ,
2)
,
Если значения случайной величины заполняют промежуток [а,в], то F(a)=0, F(b)=1;
3) F(x) неубывающая функция,
4)
,
.
В результате опыта С.В. примет какое-то значение, хотя до опыта вероятность этого равнялась 0.
F(x) дает полную вероятностную характеристику ее поведения. Однако непрерывную С.В. можно задать и по-другому: через функцию плотности вероятности f(x).
Геометрический и вероятностный смысл функции распределения F(x) для НСВ тот же, что и для ДСВ – это вероятность того, что СВ лежит левее х на оси ОХ.
График F(х) для НСВ – непрерывная кривые.
Опр. Производная
от функции распределения
называется плотностью распределения
СВ или дифференциальной функцией
распределения.
Свойства функции плотности распределения f(х)
1)
,
2)
,
так как вероятность попадания Х на
числовую ось – достоверное событие,
.
3)
- вероятность попадания СВ в интервал
(х, х + Δх).
4) Вероятность отдельного значения непрерывной СВ равна 0:
.
Отсюда следует,что
.
5)
.
Задача 2. СВ Х
задана функцией распределения
.
Найти: 1) Р(Х < 2.5),
2) P( 2.4 < X <3.2),
3) P( 1 < X < 3).
1) Р(Х < 2.5) = F(2.5) = 0.5*2.5-1=0.25,
2) P( 2.4 < X <3.2) = F(3.2) – F(2.4) = 0.5*3.2-1-(0.5*2.4-1)=0.4,
3) P( 1 < X < 3) = F(3) – F(1) = 1.5-1 – 0 =0.5.
Задача 3. СВ Х
задана плотностью распределения
.
Найти Р (1/2< X<1).
Р (1/2< X<1)
= F(1) – F(1/2)
=
.
Задача 4. Дана
плотность распределения СВ
.
Найти : 1) коэффициент А,
2) F(x).
Так как
Таким образом
Найдем функцию F(x):
1)
Числовые характеристики случайной величины
Для решения многих практических задач совсем необязательно знать все возможные значения СВ и соответствующие им вероятности, а достаточно указать отдельные числовые параметры, которые позволяют в удобной компактной форме отразить существенные особенности СВ. Эти характеристики СВ, являющиеся не функциями, а числами, называют числовыми характеристиками СВ. Их назначение – в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. К таким числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков и т.д.
Рассмотрим некоторые наиболее важные числовые характеристики и изучим их свойства.