672

Раздел 7. Функции комплексного переменного. Элементы функционального анализа. 623

ЛЕКЦИЯ 7.1 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. РЯД ЛОРАНА, ВЫЧЕТЫ 623

7.1.1. Основные понятия 623

7.1.2 Предел и непрерывность функции комплексного переменного 624

7.1.3. Основные элементарные функции комплексного переменного 625

7.1.3.1. Показательная функция 625

7.1.3.2. Логарифмическая функция 626

7.1.3.3. Степенная функция 627

7.1.3.4. Тригонометрические функции 629

7.1.3.5. Гиперболические функции 630

7.1.3.6. Обратные тригонометрические и гиперболические функции 631

7.1.4. Условия Коши – Римана 632

7.1.5. Аналитическая функция. Дифференциал 633

7.1.6. Интегрирование функции комплексного переменного 635

7.1.7. Интегральная формула Коши 639

7.1.8. Ряды Тейлора и Лорана 640

7.1.9. Изолированные особые точки 641

7.1.10. Вычеты 643

7.1.11. Вычисление вычетов 644

ЛЕКЦИЯ 7.2. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ: МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ, ЛИНЕЙНЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТАНСТВА; ПОЛНОТА И ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ; ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТБРАЖЕНИЙ; ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 647

7.2.1. Метрические пространства 648

7.2.2. Примеры метрических пространств 649

7.2.3. Шары в метрическом пространстве 652

7.2.4. Полнота и пополнение метрических пространств 653

7.2.5. Принцип сжатых отображений 657

7.2.6. Применение принципа сжатых отображений 659

7.2.7 Линейные пространства 665

7.2.8. Норма и скалярное произведение 666

7.2.9 Гильбертово пространство 668

Контрольные вопросы и задания для самопроверки 671

РАЗДЕЛ 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА.

ЛЕКЦИЯ 7.1 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. РЯД ЛОРАНА, ВЫЧЕТЫ

7.1.1. Основные понятия

Пусть даны два множества D и G, элементами которых являются комплексные числа. Числа z=x+iy множества D будем изображать точками комплексной плоскости z, а числа w=u+iv множества G – точками плоскости w.

Определение 1. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G (рис. 7.1.1):

w=

Рис. 7.1.1

Множество D называется областью определения функции w= , множество G – областью значений функции. Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w= , для которых множества D и G являются областями.

Определение 2. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Если , , то комплексную функцию можно записать в виде:

,

где

действительная часть ,

– мнимая часть ,

u, v – действительные функции от переменных х и у.

Если каждому соответствует несколько различных значений w, то функция w= называется многозначной.

Пример 1. Найти действительную и мнимую части функции .

Решение:

,

т.е.

, .

Пример 2. Найти действительную и мнимую части функции .

Решение. Функцию можно записать в виде , т.е.

Отсюда следует: ,