615

Раздел 6. Элементы теории поля 557

ЛЕКЦИЯ 6.1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПОНЯТИЕ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ УРОВНЯ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ 557

6.1.1 Основные понятия 557

6.1.2 Скалярное поле 557

6.1.3. Характеристики скалярного поля 558

6.1.3.1. Поверхности и линии уровня 558

6.1.3.2. Производная по направлению 560

6.1.3.3. Градиент скалярного поля и его свойства 562

ЛЕКЦИЯ 6.2. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 565

6.2.1. Векторное поле 565

6.2.2. Векторные линии 566

ЛЕКЦИЯ 6.3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ, ВЫЧИСЛЕНИЕ, СВОЙСТВА. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 571

6.3.1. Поток векторного поля 571

6.3.1.1. Односторонние и двусторонние поверхности 571

6.3.2. Вычисление потока векторного поля путем сведения к трем двойным интегралам 574

6.3.3. Вычисление потока векторного поля путем сведения к одному двойному интегралу 576

6.3.4. Дивергенция векторного поля 580

6.3.5. Теорема Остроградского-Гаусса 583

ЛЕКЦИЯ 6.4. РАБОТА СИЛОВОГО ПОЛЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-ГО РОДА. ЦИРКУЛЯЦИЯ И ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ, ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ И СВОЙСТВА 588

6.4.1. Работа силового поля, криволинейный интеграл второго рода 588

6.4.2. Циркуляция и ротор векторного поля 593

ЛЕКЦИЯ 6.5. ФОРМУЛЫ СТОКСА И ГРИНА 599

6.5.1. Формулы Грина и Стокса 599

ЛЕКЦИЯ 6.6. ВЕКТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ИХ СВОЙСТВА 605

6.6.1. Векторные дифференциальные операции первого порядка 605

6.6.2. Векторные дифференциальные операции второго порядка 607

6.6.3. Простейшие векторные поля 609

6.6.3.1. Потенциальное поле 609

6.6.3.2. Соленоидальное поле 612

6.6.3.3. Гармоническое поле 612

Контрольные вопросы и заданая для самопроверки 615

Раздел 6. Элементы теории поля лекция 6.1. Скалярное поле. Понятие линий и поверхностей уровня. Производная по направлению. Градиент

6.1.1 Основные понятия

Теория поля – крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы – все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

В практической деятельности инженеру приходится решать разнообразные реальные задачи, связанные с построением моделей изучаемого процесса, с исследованием динамики процесса по известной модели. При этом он должен решать как стационарные (не зависящие от времени), так и нестационарные задачи. Например, процесс остывания отливки в литейном производстве можно рассматривать как процесс изменения теплового состояния тела под действием внутренней теплопроводности при отсутствии источников тепла (уравнение теплопроводности, полученное с помощью аппарата теории поля). Термин «поток» в векторном анализе связан с гидромеханической задачей, в результате решения которой оценивается количество жидкости, протекающей через поверхность в определенную сторону в некоторый промежуток времени. Широкий круг задач металлургии и обогащения полезных ископаемых (процесс флотации) допускает сходные с вышеизложенными формулировки, а, следовательно, и методы решения.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция.

Определение 1. Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.