408

Раздел 3. Комплексные числа. Интегральное исчисление 267

ЛЕКЦИЯ 3.1. Комплексные числа и действия над ними. алгебраическая, показательная и тригонометрическая формы записи комплексного числа 267

3.1.1. Алгебраическая форма комплексного числа, основные определения 267

3.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа 268

3.1.3. Показательная форма записи комплексного числа 269

3.1.4. Действия над комплексными числами (сложение и вычитание) 270

3.1.5. Умножение комплексных чисел 271

3.1.6. Деление комплексных чисел 271

3.1.7. Возведение в степень 272

3.1.8. Извлечение корня 273

Лекция 3.2. первобразная и неопределенный интеграл. геометрический смысл, свойства. таблица простейших интегралов. интегрирование подведением под знак дифференциала 276

3.2.1.Определение, геометрическая иллюстрация 276

3.2.2. Простейшие правила интегрирования 278

3.2.3. Таблица интегралов 279

3.2.4. Интегрирование подведение под знак дифференциала 281

Лекция 3.3. итегрирование заменой переменных. интегрирование по частям. многочлены и их свойства. разложение на линейные квадратные множители 283

3.3.1. Замена переменной (метод подстановки) 283

3.3.2. Интегрирование по частям 285

3.3.3. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен 288

Лекция 3.4. рациональные функции, их разложение на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций и простейших дробей. интегрирование некоторых иррациональностей 291

3.4.1. Интегрирование рациональных функций 291

3.4.2. Интегрирование простейших иррациональных функций 297

Лекция 3.5. Интегрирование тригонометрических функций 299

3.5.1. Универсальная подстановка 300

3.5.2. Тригонометрические подстановки 303

3.5.3. Теорема Коши. Заключительные замечания 304

3.5.4. О технике интегрирования 305

Лекция 3.6. задачи, приводящие к определенному интегралу. общие идеи интегрального исчисления. различные типы Определенных интегралов. теорема существования, свойства 307

3.6.1. Задачи, приводящие к понятию общего интеграла 307

3.6.2. Интергальная сумма, определенный интеграл 310

3.6.3. Теорема о существовании определенного интеграла 313

3.6.4. Геометрический смысл определенных интегралов 314

3.6.5. Свойства определенных интегралов 317

Лекция 3.7. линейный интеграл, способы вычисления. формула ньютона–лейбница. интегрирование по частям и замена переменных. несобственные интегралы первого и второго рода. признаки сходимости 325

3.7.1. Производная от линейного интеграла по переменному верхнему пределу 325

3.7.2. Формула Ньютона-Лейбница 327

3.7.3. Интегрирование по частям в линейном интеграле 329

3.7.4. Замена переменной интегрирования в линейном интеграле 330

3.7.5. Несобственные линейные интегралы 331

3.7.5.1. Линейные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода) 331

3.7.5.2 Линейные интегралы от разрывных функций (несобственные интегралы второго рода) 333

3.7.5.3. Признаки сходимости несобственных интегралов 335

ЛЕКЦИЯ 3.8. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, ТРАПЕЦИЙ, СИМПСОНА. ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ 341

3.8.1. Формула прямоугольников 341

3.8.2. Формула трапеций 343

3.8.3. Формула парабол (формула Симпсона) 344

ЛЕКЦИЯ 3.9. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО, ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛОВ ПУТЕМ СВЕДЕНИЯ К ЛИНЕЙНОМУ 349

3.9.1 Уравнения линий в полярной системе координат 349

3.9.2 Вычисление криволинейного интеграла 351

3.9.3. Объем тел с известным поперечным сечением 357

3.9.4. Вычисление двойного интеграла путем сведения к линейному 358

3.9.5. Сведение тройного интеграла к трехкратному интегрированию 362

ЛЕКЦИЯ 3.10. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 366

3.10.1. Общий случай замены переменных в двойном интеграле 366

3.10.2. Двойной интеграл в полярных координатах 367

3.10.3. Общий случай замены переменных в тройном интеграле 372

3.10.4. Тройной интеграл в цилиндрических координатах 373

3.10.5. Тройной интеграл в сферической системе координат 375

ЛЕКЦИЯ 3.11. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ГЕОМЕТРИИ: ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ, ПЛОЩАДЕЙ, ОБЪЕМОВ. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 378

3.11.1. Вычисление площадей плоских фигур 378

3.11.2. Вычисление длин линий 383

3.11.3.Вычисление объемов тел 384

3.11.4 Статические моменты и центры тяжести 387

3.11.5. Момент инерции 393

3.11.6. Общая схема применение линейного интеграла к физическим задачам. 397

3.11.7. Давление жидкости на стенку сосуда 399

3.11.8. Работа необходимая для выкачивания воды из сосуда 400

3.11.9. Сила взаимодействия двух точечных масс 401

3.11.10. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 402

3.11.11. Газовые законы 404

3.11.12. Электростатика 406

3.11.13. Закон Архимеда 407