7. Анализ электронных схем с помощью идеальных усилительных элементов – нуллоров

Анализ цепей с идеальными операционными усилителями и транзисторами существенно упрощается, если использовать аномальные, патологические элементы – нуллоры.

Впервые нуллоры были предложены в 1961 г. американскими учеными Карлин и Юла для анализа активных цепей, представляющих отрицательное сопротивление.

Нуллор – это четырехполюсник, описываемый цепочечной матрицей А, у которой все 4 коэффициента равны нулю.

Рис. 7.1. Схемное представление нуллора с А-матрицей

Из А-матрицы нуллора следует, что он может быть описан следующей системой уравнений:

U1 = A11 U2 - A12 I2, I1 = A21 U2 - A22 I2.

(7.1)

Из (7.1) следует, что I₁ = 0, U₁ = 0, а I₂ и U₂ – любые; т. е. нуллор – это четырехполюсник, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение могут быть любыми. Он представляет собой несимметричный однонаправленный (от нуллатора к норатору) активный четырехполюсник, который содержит источник энергии (в нораторе).

Нуллор состоит из двух двухполюсников: нуллатора и норатора.

Нуллатор – двухполюсник, на зажимах которого напряжение тождественно равно нулю, а ток не проходит, т. е. тоже равен нулю. На схемах обозначается n.

Норатор – двухполюсник, ток и напряжение которого принимают любые значения. На схемах обозначается N.

Рис. 7.2. Обозначение двухполюсников: нуллатора и норатора

Нуллатор и норатор нельзя описать с помощью закона Ома. Последовательное соединение нуллатора и норатора эквивалентно разрыву цепи (холостой ход – ХХ), а параллельное – короткому замыканию (КЗ) (рис. 7.3).

Нуллор является схемой замещения идеального ОУ, если выполняется обязательное условие заземления выходного норатора, и идеального транзистора, для которого обязательным условием является соединение норатора с нуллатором, что показано на рис. 7.4.

Рис. 7.3. Эквивалентные схемы нуллоров

При анализе реальных схем, содержащих нуллоры, строится Y-матрица цепи, а при нахождении передаточной функции вычеркиваются столбцы, к которым подключены нуллаторы, и строки, к которым подключены нораторы. Таким образом, понижается порядок схемы на число нуллоров и производится анализ, не требующий предельного перехода (при K_U → ∞).

Рис. 7.4. Нуллорные схемы замещения БПТ и ОУ

Используя нуллорную модель ОУ (схему замещения ОУ), показанную на рис. 7.4, можно построить повторитель напряжения соединенив один вывод входного нуллатора с выводом заземленного норатора (рис. 7.5). Используя нуллорную модель БПТ (рис. 7.4), можно построить повторитель тока (рис. 7.6).

Рис. 7.5. Нуллорная модель идеального ОУ – повторителя напряжения

Рис. 7.6. Нуллорная модель идеального БПТ – повторителя тока

Эквивалентные преобразования цепей с нуллорами представлены в табл. 7.1, откуда следует:

1. Несколько последовательно соединенных нуллаторов эквивалентны одному нуллатору.

2. Несколько последовательно соединенных нораторов эквивалентны одному норатору.

3. Последовательное соединение нуллатора и резистора эквивалентно одному нуллатору.

4. Параллельное соединение нуллатора и резистора эквивалентно одному нуллатору.

5. T-образное соединение двух нуллаторов и одного заземленного норатора эквивалентно «плавающему, незаземленному» нуллатору.

6. T-образное соединение двух нораторов и одного заземленного нуллатора эквивалентно «плавающему, незаземленному» норатору.

7. Крестообразное соединение двух нуллаторов и двух нораторов эквивалентно одному нуллору.

8. Крестообразное соединение двух нуллаторов и двух нораторов заземленное в общей точке эквивалентно одному заземленному нуллору.

Таблица 7.1.

№ п/п	Исходная схема	Преобразованная эквивалентная схема
1
2
3
4
5

Окончание табл. 7.1.

№ п/п	Исходная схема	Преобразованная эквивалентная схема
6
7
8

Использование нуллоров позволяет эффективно упростить топологические преобразования (преобразования по месту, без использования дополнительных материалов, элементов) передаточной функции цепи по напряжению. Существуют 3 топологических нуллорных преобразования: обратное, дополнительное и комплементарное.

Обратное преобразование было предложено в 1977 г. Ратхором, но без нуллоров, позднее это преобразование было усовершенствовано.

Обратное преобразование передаточной функции вида:

K2(p)  = 1 / K1(p),

где K₁(p)  – исходная ПФ, а K₂(p)  – преобразованная ПФ, осуществляется замещением выходного норатора источником входного напряжения, а источника входного напряжения – норатором, при этом происходит инверсия передаточной функции цепи по напряжению (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Топологическое обратное преобразование ПФ активной цепи

Дополнительное преобразование (рис. 7.8) предложил в 1973 г. Гильберман. Переносом «земли» по источнику входного напряжения достигается дополнительное преобразование передаточной функции цепи по напряжению вида:

K2(p) = 1 - K1(p).

Рис. 7.8. Топологическое дополнительное преобразование ПФ активной цепи

Комплементарное преобразование (рис. 7.9) было предложено в 1973 г. Флиге. Переносом «земли» по выходному норатору достигается комплементарное преобразование передаточной функции цепи по напряжению, оно описывается следующим выражением:

1 / K1(p) + 1 / K2(p) = 1.

Рис. 7.9. Топологическое комплементарное преобразование ПФ активной цепи

Формулы всех трех топологических нуллорных преобразований сведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Вид преобразования	Формула для K2(p)	Общая формула
Обратное	K2(p)  = 1 / K1(p)	K1(p) K2(p) = 1
Дополнительное	K2(p) = 1 – K1(p)	K1(p) + K2(p) = 1
Комплементарное	K2(p) = K1(p) / (K1(p) – 1)	1 / K1(p) + 1 / K2(p) = 1

С помощью топологических преобразований были получены кольца последовательностей этих преобразований, где одно преобразование получается последовательным применением двух оставшихся преобразований из трех. Ратхором предложено одностороннее полукольцо комплементарного преобразования (рис. 7.10, а) через обратное и дополнительное преобразования вида: К = О→Д→О.

Рис. 7.10. Получение К–преобразований ПФ активной цепи последовательным применением ОДО преобразований (а), и применением ОДО и ДОД преобразований (б)

В дальнейшем эти преобразования были усовершенствованы. Были для каждого из трех преобразований получены кольца последовательных переходов, причем переходы могут совершаться как по окружности колец, так и по любой диагонали и в любую сторону (рис. 7.10, б и рис. 7.11, а и б).

Рис. 7.11. Получение О–преобразования ПФ активной цепи последовательным применением КДК и ДКД преобразований (а), получение Д–преобразования применением ОКО и КОК преобразований (б)

Нуллоры, к сожалению, мало используемы в России, так как в отечественной литературе информация о них практически отсутствует, а имеющаяся методически не отработана. В то же время в западной литературе встречается много публикаций о нуллорах.

Преимущества подхода к анализу активных линейных цепей с помощью нуллоров:

– поскольку нуллоры являются по определению идеализированными элементами, то все неидеальности активных компонентов при анализе автоматически исключаются, акцентируется внимание на существенном (на сути явления);

– устранение при анализе цепей таких понятий, как БПТ и ОУ, позволяет перейти к высокой степени обобщения, не вдаваясь в подробности, связанные с выбором конкретного активного усилительного элемента;

– нуллоры позволяют сделать акцент на топологии пассивной цепи, считая ее основой устройства, а не на активных элементах, как это было ранее, когда активные элементы по стоимости значительно превышали пассивные и считались основой схемы, к которым подключались пассивные компоненты;

– только использование нуллоров позволяет эффективно применять метод топологических преобразований;

– значительно упрощается матричный метод анализа активных цепей;

– нуллоры дают возможность проводить эквивалентные преобразования схем с переходом от инвертирующих ОУ к дифференциальным при сокращении числа ОУ на единицу;

– нуллоры позволяют объяснить все существующие схемы и описать все проводимые с ними преобразования на основе небольшого базиса;

­– удобно объясняются принципы и подходы к построению схем с отрицательным сопротивлением и с частотно-зависимым отрицательным сопротивлением;

– показывается значительная роль заземления (общего провода цепи), поскольку ему обычно не уделяется должного внимания при анализе и синтезе схем;

– представляет хорошее методическое объяснение принципов построения идеальных ИНУН, ИНУТ, ИТУТ, ИТУН;

– обеспечивается новый подход к синтезу схем на основе наглядных физических представлений;

– обеспечивается эффективная генерация большого количества новых схем, логическое (эвристическое) создание которых практически невозможно даже квалифицированным разработчикам;

– возможно создание (при необходимости) для шифрования построенных схем комбинации из сочетаний различных нуллаторов и нораторов;

–значительно улучшаются частотные свойства схем на реальных ОУ за счет проведения топологических нуллорных эквивалентных преобразований.

Следует также отметить большие методические достоинства нуллорного подхода при обучении электронике различных контингентов учащихся, от школьников до аспирантов.