- •Определители. Свойства определителей Основные теоретические сведения
- •Основные свойства определителей
- •Приведение определителя к треугольному виду
- •Решение систем уравнений с помощью определителей (по формулам Крамера) Основные теоретические сведения
- •Матрицы. Операции над матрицами Основные теоретические сведения
- •Операции над матрицами
- •Многочлены от матриц
- •Обратная матрица
- •Решение систем алгебраических уравнений методом гаусса Основные теоретические сведения
- •Метод Гаусса. Схема с выбором главного элемента
- •Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования Основные теоретические сведения
- •Квадратичные формы
- •Кривые и поверхности второго порядка Основные теоретические сведения
- •Список литературы
- •Оглавление
Кривые и поверхности второго порядка Основные теоретические сведения
Общее уравнение второго порядка
является уравнением линии и поверхности. Первые слагаемые этого уравнения представляют квадратичную форму
.
Ортогональным преобразованием перейдем к новым переменным и запишем квадратичную форму в каноническом виде. Затем параллельным переносом осей координат приведем общее уравнение к каноническому виду поверхности второго порядка или кривой, если .
Множество точек плоскости , удовлетворяющих общему уравнению, называется кривой второго порядка. В этом случае каноническое уравнение может принимать один из следующих видов:
1) ;
2) ;
3) .
Примеры решения задач
Задача. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка:
.
Решение. Матрица квадратурной части многочлена второй степени равна
.
Характеристический многочлен
.
Собственные числа матрицы: ; .
Собственные векторы:
: , , , так как .
: , , .
Выполнив преобразование , , получим:
.
Выделим полный квадрат по каждой из переменных и :
.
Заменой переменных , , соответствующей сдвигу по каждой из координатных осей, получим:
или .
Это каноническое уравнение гиперболы.
Ответ. .
Множество точек пространства , удовлетворяющих общему уравнению, называется поверхностью второго порядка. Каноническое уравнение в этом случае принимает один из следующих видов:
;
;
;
;
.
Пример. Написать каноническое уравнение поверхности второго порядка
.
Решение. Матрица квадратурной части многочлена второй степени равна
.
Ее собственные числа: , , , а собственные единичные векторы:
, , .
Выполнив преобразование
, ,
,
получим .
Преобразование сдвига выполняем лишь по переменной :
.
Второе преобразование координат , , , окончательно получаем каноническое уравнение гиперболического параболоида .
Ответ. .
Задачи для самостоятельного решения
Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип:
1. . Ответ. Эллипс .
2. . Ответ. Парабола .
3. . Ответ. Гипербола .
4. . Ответ. Эллипс .
5. . Ответ. Парабола .
Написать каноническое уравнение поверхности второго порядка и определить ее тип:
6. .
Ответ. Эллипсоид .
7. .
Ответ. Гиперболический параболоид .
8. .
Ответ. Двуполостный гиперболоид .
9. .
Ответ. Эллиптический параболоид .
10. .
Ответ. Параболический цилиндр .
11. .
Ответ. Эллиптический цилиндр .
12. .
Ответ. Однополостный гиперболоид .
Список литературы
1. Исхаков Э.М. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 186 с.
2. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч.1. Для вузов. Минск: Высшэйшая шк., 1988. 247 с.
3. Заборская А.П., Хайруллина С.П. Определители и системы линейных алгебраических уравнений. Казань. 1982. 40 с.
4. Амирханова С.Г., Дараган М.А., Дорофеева С.И. Линейная алгебра: Практикум. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2003.–63с.