Метод Гаусса. Схема с выбором главного элемента

Если коэффициентами линейных уравнений системы являются дроби, то в процессе решения получают приближенное решение системы. Округление результатов промежуточных действий приводит к возникновению и накоплению погрешности.

В технических расчетах обычно коэффициенты систем являются дробными числами. Исходя из поставленной задачи задается необходимая точность вычислений.

Пример 1.1. Решить систему

Решение. Подставив из второго уравнения в первое, найдем точное решение системы:

Предположим, что решаем систему методом исключения неизвестных, проводя вычисления с двумя знаками после занятой, что обычно в технических решениях:

Вычитая из второго уравнения первое, получим: откуда а

Погрешность вызвана делением на коэффициент, соизмеримый с погрешностью вычислений.

Определитель этой системы

.

Определение. Системы, определитель которых близок к нулю, называются плохо обусловленными.

К решению таких систем следует подходить с особой осторожностью.

Для уменьшения вычислительных погрешностей применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. В системе выбирают уравнение, содержащее наибольший по модулю коэффициент системы (главный, или ведущий элемент) и делят это уравнение на указанный коэффициент. Из остальных уравнений исключают неизвестное, при котором был наибольший по модулю коэффициент. Для удобства вычислений можно поместить наибольший коэффициент на место элемента , поменяв местами строки и столбцы.

Далее в оставшихся уравнениях ищут наибольший по модулю коэффициент (новый главный элемент) и исключают неизвестное, при котором стоял коэффициент, из других уравнений и т.д., пока система не будет приведена к диагональному виду.

Примеры решения задач

Задача 1. Решить систему методом Гаусса с точностью 0,01:

(1)

Решение. Применим метод Гаусса с выбором главного элемента, так как определитель системы =0,005 близок к нулю.

Наибольший коэффициент . Перепишем систему (1) в следующем виде:

(2)

Составим табл. 1, где номер строки матрицы ; номер неизвестного, – матрица-столбец свободных членов.

Таблица 1

1 2 3	0,50 0,30 0,20	–0,30 –0,20 –0,40	0,20 0,10 0,30	0,45 0,22 0,13
	3 2 1

Первое уравнение системы (2) делим на 0,50 – главный элемент – и исключаем его из остальных уравнений (табл.2).

Таблица 2

1 2 3	1 0 0	–0,60 –0,02 –0,28	0,40 –0,02 0,22	0,9 –0,05 –0,05
	3	2	1

Наибольший по модулю коэффициент . Меняем местами строки, делим уравнение, содержащее главный элемент на  , затем исключаем неизвестное из остальных уравнений.

Из табл. 2 следует:

Таблица 3

1 2 3	1 0 0	–0,6000 1 0	0,4000 –0,7857 0,0357	0,9000 0,1786 0,0464
	3	2	1

Решая систему, находим:

Метод Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента несколько усложняет решение систем, но повышает его точность.

Задачи для самостоятельного решения

1.

2.

3.

4.

Ответы: 1. ; ; .

2. ; ; .

3. ; ; .

4. ; ; .