Решение систем алгебраических уравнений методом гаусса Основные теоретические сведения

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными :

(1)

Метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса, предполагает решение системы по следующей схеме.

Предполагаем, что (этого всегда можно достичь, поменяв уравнения местами). Умножаем первое уравнение на , а затем, домножая его , вычитаем из, соответственно, первого, второго, ..., -го уравнений. Система (1) примет следующий вид, эквивалентный системе (1):

(2)

Предположив, что , продолжим процесс, приведя систему к виду:

(3)

Приведение системы к виду (3) – треугольно-ступенчатому виду – прямой ход решения. Далее оставляем в левой части неизвестных, остальные перенесем в правую часть и начнем обратный ход решения: получим нулевые коэффициенты выше главной диагонали в левой части.

Если система имеет единственное решение, , то система имеет множество решений.

Записывать систему (1) удобно в матричном виде: , где

, , ,

(А – матрица системы; Х – матрица-столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов).

Расширенной матрицей системы называется матрица

.

Теорема. Кронекера – Капелли (Леопольд Кронекер (1823–1891) – немецкий математик, Альфред Капелли (1855-1910) – итальянский математик). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы систем – был равен рангу расширенной матрица системы – .

Базисный минор – любой минор порядка ранга матрицы, отличный от нуля. Если известных , а ранг , то в системе базисных неизвестных, – свободных неизвестных, или параметров; если , то система имеет единственное решение.

В матричной форме удобнее вести преобразование.

Допустимы следующие элементарные преобразования в процессе решения систем линейных уравнений:

– перестановка любых двух строк;

– перестановка столбцов (при этом необходимо писать над верхней строкой неизвестные, коэффициенты при которых содержат столбец);

– умножение элементов любой строки (но не столбца) на число, отличное от нуля, и сложение с соответствующими элементами другой строки;

– вычеркивание строки, состоящей из нулей.

Системы, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными, так как имеют равные ранги и обозначаются символом ~ – эквивалентность.

Пример.

Решение.

,

так как , , то согласно теореме Кронекера–Капелли система несовместна.

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими, например, решением систем по формулам Крамера, состоят в следующем:

– метод менее трудоемкий;

– позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и в случае совместности найти ее решения (одно или бесконечное множество);

– дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений, т.е. определить ранг матрицы системы.

Примеры решения задач

Задача 1. Решить систему уравнений

Решение. Каждому уравнению соответствует строка в матрице. Необходимо следить, чтобы каждый столбец состоял из коэффициентов при одном и том же неизвестном (стрелочками обозначены действия строки на строку)

Получив нули ниже главной диагонали, заканчиваем прямой ход решения системы. Теперь в соответствии с каждой строкой матрицы запишем систему уравнений:

Задача 2. Решить систему:

Решение.

Так как в системе только две линейно независимых строки, т.е. , то она будет иметь два базисных неизвестных и одно – свободное, называемое параметром. За базисные выберем неизвестные и , тогда матрица примет следующий вид:

Обозначим свободное неизвестное , тогда:

Проверка. Подставим в первое уравнение:

.

Задача 3.

Решение.

, , согласно теореме Кронекера – Капелли система несовместна.

Задача 4. Для сравнения трудоемкости методов решим систему, рассмотренную в примере 1 по формулам Крамера:

;

;

;

;

таким образом, , , .

Итак, , , .

Замечание. Системы из примеров 2 и 3 решать по формулам Крамера нельзя, так как .

Задача 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение. Преобразования осуществляются в матричной форме. Запишем расширенную матрицу системы. Выполняем прямой ход действий.

.

Выполняется обратный ход действий

.

, а так как ранг равен числу неизвестных, система имеет единственное решение.

По полученной матрице запишем уравнения

Задача 6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение. Запишем расширенную матрицу системы. Выполняем прямой ход действий:

.

Выполним обратный ход:

Получили , , , – базисные неизвестные, , – параметры.

Обозначим , , где , – const; система примет вид

Получив решение необходимо осуществить проверку, подставив , , , , в исходную систему уравнений.

Задачи для самостоятельной работы

Решить системы уравнений:

1.

2.

3.

4.

5.

6. При каком система однородных уравнений

имеет нетривиальное (ненулевое) решение? Найти это решение.

7.

8.

Ответы: 1. , , .

2. Не совместна.

3. , , , ,

.

4. , , , .

5. , , , .

6. , , , .

7. , ,

, , , .

8. , , , .