- •Определители. Свойства определителей Основные теоретические сведения
- •Основные свойства определителей
- •Приведение определителя к треугольному виду
- •Решение систем уравнений с помощью определителей (по формулам Крамера) Основные теоретические сведения
- •Матрицы. Операции над матрицами Основные теоретические сведения
- •Операции над матрицами
- •Многочлены от матриц
- •Обратная матрица
- •Решение систем алгебраических уравнений методом гаусса Основные теоретические сведения
- •Метод Гаусса. Схема с выбором главного элемента
- •Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования Основные теоретические сведения
- •Квадратичные формы
- •Кривые и поверхности второго порядка Основные теоретические сведения
- •Список литературы
- •Оглавление
Матрицы. Операции над матрицами Основные теоретические сведения
Определение 1. Матрица – прямоугольная таблица чисел, имеющая строк и столбцов. Обозначения:
или или ,
где , , – элементы матрицы.
Матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: , где , ;
Матрица, состоящая из одной строки, т.е. , называется матрицей-строкой, а из одного столбца, т.е. , матрицей-столбцом.
Определение 2. Матрицы называются равными, если имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны, т.е. .
Определение 3. Если , матрицу называют квадратной. В квадратной матрице элементы составляют главную диагональ, а побочную.
Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю:
.
Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали равны нулю.
Единичная матрица – диагональная матрица, все элементы главной диагонали равны единице.
Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
Трапециевидная (треугольно-ступенчатая) матрица имеет вид:
.
Противоположная матрица (не обратная !)
Операции над матрицами
Сложение (только для матриц одинаковой размерности): если и , то , где .
Примечание. Аналогично определяется сумма конечного числа матриц одинаковой размерности.
Умножение матрицы на число (или числа на матрицу): если , – число, то , где .
Умножение матриц. Матрицу будем называть согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы (или длина строки матрицы равна высоте столбца матрицы ). Из согласованности с не следует согласованность с . Произведение возможно только в случае согласованности матрицы с матрицей : , где .
Замечание. Если матрицу можно умножить на , т.е. существует произведение , то это не значит, что существует произведение (в общем случае ).
Если , то матрицы называются коммутативными (перестановочными, коммутирующими).
Произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей (для произведения чисел этого быть не может), например,
.
Многочлены от матриц
Целой положительной степенью квадратной матрицы называется .
Пусть дан многочлен Если есть нулевая матрица, то называется корнем .
Обратная матрица
Матрица называется обратной к матрице , если где единичная матрица.
Минор матрицы – определитель матрицы, полученной из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных строк и столбцов. Обозначение: М. Минор называется дополнительным к минору М и состоит из оставшихся после вычеркивания -й строки и -го столбца элементов. Это понятие применяется к квадратной матрице.
Алгебраическое дополнение .
Невырожденной называется квадратная матрица , если
Теорема. Для того чтобы существовала обратная матрица к квадратной матрице , необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.
Если ,
то обратная матрица имеет вид
,
где алгебраические дополнения элементов .
Обратную матрицу можно найти и с помощью элементарных преобразований:
Определение 4. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Обозначение: , .
Примеры решения задач
Задача 1. Умножить матрицу на число .
Решение. .
Задача 2. Дано: , . Найти и .
Решение.
,
каждый элемент умножили на число 2. При умножении определителя на число умножаем на это число какой-либо ряд:
и т.д. В первом случае умножим на 2 первую строку, во втором – второй столбец, в третьем – третий столбец.
Задача 3. Найти произведения , , , , , , , если они существуют:
Решение. Проверим согласованность матриц , , .
Для : , длина строк матрицы не равна высоте столбца матрицы , следовательно, матрицы перемножать нельзя.
Для : матрицы согласованы, получим матрицу размерности :
.
Для – матрицы согласованы, в результате получим матрицу размерностью :
.
Для : – произведение не существует.
Для матрицы согласованы :
.
Заметим, что элементы матрицы произведения получаются при перемножении -й строки матрицы на -й столбец матрицы :
, .
Для : квадратичная матрица всегда согласована с квадратичной матрицей той же размерности
Задача 4. Дано: , . Найти .
Решение.
, .
Таким образом, – матрицы коммутативны.
Задача 5. Показать, что является корнем многочлена .
Решение.
,
так как получили нулевую матрицу, матрица является корнем многочлена .
Задача 6. Найти определитель произведения матрицы А= на транспонированную .
Решение.
Пусть , тогда
и ,
Задача 7. Найти обратную матрицу, если она существует:
а) , б) .
Решение.
а) , матрица вырожденная, так как и обратной матрицы не имеет;
б) , Найдем алгебраические дополнения
, , ;
алгебраическое дополнение первой строки запишем в первый столбец обратной матрицы: .
Ищем алгебраическое дополнение второй строки:
, , ; .
Ищем алгебраическое дополнение третьей строки:
, ,
;
.
Матрицы порядка больше удобнее искать с помощью элементарных преобразований.
Найдем другим способом – с помощью элементарных преобразований:
.
По определению , тогда:
.
В результате элементарных преобразований получим в левой части равенства единичную матрицу. Преобразования должны проводиться одновременно над левой и правой частью равенства:
Получили 1 на месте элемента , прибавим первую строку ко второй.
;
разделим вторую строку на :
;
вторую строку, умноженную на , вычитаем из третьей:
;
третью строку разделим на :
,
получили нули ниже главной диагонали. Получим нули выше главной диагонали: третью строку, умноженную на , вычтем из второй:
;
вторую строку, умноженную на , вычитаем из первой:
,
слева – произведение .
Итак,
.
Задача 8. Решить двумя способами систему:
Решение.
1) По формулам Крамера:
Неизвестные системы: , ,
.
Ответ:
2) С помощью обратной матрицы:
, , .
Найдем матрицу : ;
.
Итак, , из определения равенства матриц
Задача 9. Решить матричные уравнения
1. ; 2.
Решение. Уравнение вида :
1. ; ; , так как , то обратная матрица существует.
Вычислим
; ; ; ,
тогда, .
Умножаем уравнение на : , , , тогда :
.
Ответ: .
2. , .
Обратная матрица , , произведение не существует, так как матрицы не согласованы, т.е. не существует.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить значения матричных многочленов.
1. . Найти , если , . Ответ: .
2. Найти , , .
Ответ: .
3. Найти , если , , . Ответ: .
4. Доказать, что является корнем многочлена , если , .
5. Найти , если , .
Ответ: .
6. Найти , если , .
Ответ: .
7. Найти , если , .
Ответ: .
8. Доказать, что является корнем многочлена , если , .
9. Найти ; , если .
10. Доказать, что – корень многочлена , если ; .
11. Решить системы по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы :
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
Ответ: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
12. Решить матричные уравнения
1. ; |
2. ; |
3. ; |
4. ; |
5. ; |
6. ; |
7. ; |
8. . |
Ответ: 1. 2. не существует, так как размерность , а размерность – 3. 4. 5. 6. 7. не существует, так как 8.