Приведение определителя к треугольному виду
Определитель
вида
называется треугольным
(все элементы ниже главной диагонали
равны нулю)
.
Треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.
Определитель, в котором все элементы ниже побочной диагонали, равны нулю, изменением порядка столбцов на обратный сводится к треугольному:
При вычислении иногда удобно, используя свойства определителей 1-6, привести его к треугольному виду и найти произведение элементов главной диагонали.
Решение систем уравнений с помощью определителей (по формулам Крамера) Основные теоретические сведения
Система двух уравнений с двумя неизвестными:
|
|
,
;
;
,
,
– определитель системы.
Определитель
– определитель, полученный заменой
столбца при неизвестном
на столбец свободных членов.
Формулы
Крамера:
;
.
Формулы Крамера
,
справедливы для систем
линейных уравнений с
неизвестными при условии, что
.
Если , система имеет единственное решение:
.Если
,
то система имеет множество решений
(эти решения будем искать методом
Гаусса).Если
и хотя бы один из определителей
,
,
отличен от нуля, то система не имеет
решений (несовместна).
Решение систем из двух уравнений с тремя неизвестными:
Пусть
,
тогда систему
можно решать по формулам Крамера.
Решение системы запишем в виде:
;
;
.
Для запоминания порядка коэффициентов при неизвестных нарисуем такую “вертушку”:
Для
неизвестного
– в определители записываем коэффициенты
при
и
;
для неизвестного
– двигаясь по часовой стрелке, коэффициенты
при
и
;
для неизвестного
– коэффициенты при
и
.
Примеры решения задач
Задача 1. Вычислить определители:
а)
;
б)
;
в)
.
Задача 2. Вычислить определитель следующими способами:
а) по правилу треугольников:
;
б) разложением по первой строке (по определению):
;
в) разложением по второму столбцу:
.
Задача 3. Вычислить, используя свойства определителей:
а)
;
б)
;
в)
.
Задача
4.
Вычислить определитель Вандермонда и
выяснить, при каких значениях
,
,
этот определитель равен нулю:
.
Определитель равен нулю при равенстве какой-либо пары чисел из , , .
Задача 5. Доказать, что
а)
.
Решение.
;
б)
.
Решение.
.
Задача 6. Решить уравнение:
а)
.
Решение.
,
,
по
теореме Виета:
,
;
б)
.
Решение.
,
,
,
по
теореме Виета:
,
;
в)
.
Решение.
При
определитель равен нулю при любых
.
Если
,
то
,
,
.
Или, преобразуя определитель и складывая первую строку со второй и третьей, получаем
,
.
Задача 7. Привести определитель к треугольному виду и вычислить:
1)
.
Решение. Используя свойство линейности, вычтем первую строку из второй, прибавим первую строку к третьей, вычтем первую строку, умноженную на 2, из четвертой
.
2)
.
Решение.
.
Задача 8. Вычислить определитель разложением по первой строке (по определению) и какому-либо ряду:
.
а) вычисление определителя разложением по первой строке:
;
б) вычисление определителя по первому столбцу:
.
Задача 9. Вычислить определители:
а)
;
б)
.
Решение:
а) применим разложение по четвертой строке:
.
б) .
Заметим,
что первая и третья строки пропорциональны,
поэтому
.
Задача 10. Решить системы:
1)
Решение.
Определитель
данной системы:
отличен от нуля, следовательно, она
имеет единственное решение:
,
.
Таким
образом,
;
;
2)
Решение.
Составим определитель системы и вычислим его:
.
Определитель , следовательно, формулы Крамера применимы.
Вычислим остальные определители:
;
;
;
.
Итак,
;
;
;
.
Проверить постановкой в любое уравнение
системы.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить определители:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ответ:
1. 144;
2. 1;
3. 
;
4. 
;
5. –117;
6. 144;
7. 0;
8. –155;
9. 
;
10. 1.
Решить систему уравнений:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
|
Ответ: 1. 
;
2. Система
несовместна;
3. Система
несовместна;
4. 
;
5. 
,
,
;
6. 
,
,
;7. 
.