5. Координатные базисы и угловая скорость

вращения

Подвижный базис Френе, как и координатный базис декартовой системы координат, является ортонормированным. Но между ними есть и различие. Декартовые базисы во всех точках пространства имеют одинаковую ориентацию, они всюду параллельны между собой. Базис же Френе, оставаясь ортонормированным, меняет свою ориентацию в пространстве, следуя изгибам линии. Сравним с этой точки зрения координатные базисы декартовой и, например, цилиндрической систем координат. При смещении точки вдоль линии базис цилиндрической системы поворачивается на некоторый угол вокруг оси , сохраняя неизменными как модули, так и направления векторов базиса относительно друг к другу. В этом случае говорят, что при движении вдоль координатной линии, соответствующей азимутальному углу, координатный базис цилиндрической системы координат вращается как целое около оси с некоторой угловой скоростью. При движении по двум другим координатным линиям базис остается параллельным самому себе, вращение отсутствует. Координатные же базисы декартовой системы координат не испытывают изменений при движении вдоль любой из трех координатных линий.

Заметим, что цилиндрический координатный базис является ортогональным, как и декартовый, но, в отличии от последнего, не является нормированным. Однако это различие не имеет значения, когда говорят о вращении базиса. Понятие “вращение базиса” , как

-36-

После умножения последнего равенства последовательно на слева, затем на и, наконец, на справа, получим искомую формулу

(3.17)

Преобразование дополняющего базиса в дополняющий базис осуществляется обратной матрицей согласно формуле

(3.18)

Ее легко получить из (3.15), используя определяющую формулу (3.5 a) и равенство (3.17).

Для произвольного вектора теперь получаем

(3.19)

Следовательно, компоненты вектора в основном базисе (контравариантные компоненты) преобразуются по закону преобразования дополняющего базиса, а компоненты вектора в дополняющем базисе (ковариантные компоненты) преобразуются по закону преобразования основного базиса:

Этим объясняются принятые для компонент вектора

-13-

названия: ковариантный преобразующийся так же,

как и основной базис, контравариантный преобразующийся не так, как основной базис, но как дополняющий.

4. Системы координат. Координатные базисы

Рассмотрим множество любых трех вещественных упорядоченных чисел или , Если между множеством и точками пространства установлено взаимнооднозначное и непрерывное соответствие, то говорят, что пространство снабжено координатами или системой координат. Очевидно, что множеству чисел в этом случае соответствует в пространстве линейное множество точек, образующих линию, вдоль которой меняется значение только одной координаты при постоянных значениях и . Поэтому множеству , где и - произвольные постоянные, соответствует двухпараметрическое семейство кривых такое, что через каждую точку пространства (по крайней мере, каждую точку некоторой области пространства) проходит одна

из кривых этого семейства. Множествам и соответствуют свои два семейства кривых. Таким образом, систему координат можно

-14-

Подставив векторную функцию (5.16 a) в уравнение (5.12 a) и проинтегрировав его, получаем общее решение

(5.18)

где - произвольный постоянный вектор

определяющий положение тройки векторов в пространстве при . Уравнения (5.18) являются параметрическими уравнениями кривой, проходящей через пространственную точку в направлении вектора ортонормированной тройки векторов при . Теорема доказана.

Упражнения.

1. Докажите утверждения, сформулированные в

примерах 1 4.

2. Найдите представление скорости и ускорения

материальной точки в подвижном базисе.

3. Выразите кривизну траектории материальной

точки через ее скорость и

ускорение.

-35-

функциях и содержит три произвольных

линейно независимых вектора. Обозначим их как и запишем решение в виде

(5.16a,b,c)

Используем векторы и , чтобы удовлетворить условия

(5.17)

ортонормированности тройки векторов и при . Векторные функции (5.16) при условиях (5.17) удовлетворяют не только уравнениям Френе, но, согласно лемме, и равенствам (5.13) при всех значениях . Произвол, вносимый векторами и , сузился до неопределенности только направлений векторов и при . Таким образом, решение уравнений Френе (5.12 b,c,d), удовлетворяющее начальным значениям (5.17), определяет ортонормированную тройку векторов при всех значениях с точностью до пространственной ориентации этой тройки при .

-34-

интерпретировать как три двухпараметрических семейства кривых, заполняющих, по крайней мере, некоторую область пространства. Эти кривые называются координатными.

Из установленного соответствия между точками пространства и их координатами следует, что: а) через каждую точку пространства проходят три координатные кривые, принадлежащие разным семействам; b) точки пространства определяются как точки пересечения трех координатных кривых из разных семейств.