10.4.2. Операторный метод анализа
Рассмотрим примеры предыдущего параграфа в случае расчета переходных процессов операторным методом.
Пример 10.9
Рассчитать
ток в цепи (рис. 10.21,а) при воздействии
импульса напряжения прямоугольной
формы
(рис. 10.21,б).
а) |
|
б) |
|
Рис. 10.21 |
|||
Решение
Операторное изображение источника э.д.с.
.
Аналогичный результат
можно получить, представив э.д.с.
в виде суммы двух э.д.с., равных по
величине, противоположных по знаку и
сдвинутых во времени на
.
Изображение первой из них
,
а второй согласно теореме запаздывания
.
Операторное изображение тока в рассматриваемой цепи находим из закона Ома в операторной форме:
.
(10.26)
Оригинал тока может быть найден при помощи таблиц, теоремы разложения или обратного преобразования Лапласа.
Первому слагаемому выражения (10.26) соответствует оригинал
при
.
Второму слагаемому (10.26) согласно теореме запаздывания соответствует с точностью до знака тот же оригинал, но смещенный на время , т.е.
при
.
Следовательно, ток в цепи будет изменяться по закону:
Полученные значения тока соответствуют выражениям (10.7) и (10.12), в связи с чем графические зависимости не приводятся.
а) |
|
б) |
|
Рис. 10.22 |
|||
Пример 10.10
Рассчитать
ток в цепи (рис. 10.22,а) при воздействии
импульса треугольной формы
(рис. 10.22,б).
Решение
Операторное изображение э.д.с.:
=
=
Изображение тока получаем из закона Ома в операторной форме:
.
(10.27)
Оригинал
для тока может быть найден с помощью
таблиц или теоремы разложения и
запаздывания. Оригинал второго слагаемого
выражения (10.27) имеет вид
.
Оригиналы первого и третьего слагаемых выражения (10.25) с учетом теоремы запаздывания получаем в виде:
;
.
Окончательное выражение для тока:
Пример 10.11
Рассчитать
ток в цепи (рис. 10.23,а) при воздействии
импульса напряжения
(рис. 10.23,б)
а) |
|
б) |
|
Рис. 10.23 |
|||
Решение
Чтобы найти операторное изображение импульсной э.д.с., используем прямое преобразование Лапласа:
Операторное изображение тока находим по закону Ома:
(10.28)
Оригинал первого слагаемого (10.28) уже вычислен в примере 10.9, оригинал второго слагаемого отличается от оригинала первого лишь запаздыванием на время и знаком. Для расчета оригинала третьего слагаемого в (10.28) используем теорему разложения:
;
;
;
;
;
;
,
тогда оригинал третьего слагаемого
.
(10.29)
Оригинал
четвертого слагаемого в (10.28) отличается
от (10.29) постоянным множителем
и запаздыванием на время
.
Ток в цепи получаем как алгебраическую
сумму оригиналов отдельных слагаемых:
При использовании операторного метода расчета нет необходимости рассматривать отдельно два интервала времени, как это делалось в случае применения классического метода. Преобразование Лапласа дает возможность определить сразу два закона изменения на различных интервалах времени. Трудности применения операторного метода связаны, в основном, с определением оригинала по найденному его операторному изображению.