- •Глава 10
- •10.1.2. Единичная и импульсная функции.
- •10.1.3. Переходные и импульсные характеристики цепи и их связи с передаточными функциями
- •10.2. Интеграл наложения с использованием переходных характеристик
- •Отметим, что используя обобщенные функции, возможно записать формулу для расчета реакции цепи компактнее. Для этого перепишем воздействие в виде
- •Пример 10.4
- •10.3. Интегралы наложения с использованием импульсных характеристик
- •10.4. Переходные процессы при воздействии одиночных импульсов
- •10.4.1. Классический метод анализа
- •10.4.2. Операторный метод анализа
- •10.5. Расчет электрических цепей при воздействии периодически повторяющихся импульсов
- •Контрольные вопросы
10.2. Интеграл наложения с использованием переходных характеристик
Обозначим воздействие на электрическую цепь как , а реакцию цепи как . Пусть также известна переходная характеристика цепи . В зависимости от вида воздействия и реакции переходная характеристика может быть переходным сопротивлением , переходной проводимостью , переходной характеристикой по току или напряжению . Тогда расчет реакции электрической
а) |
б) |
|
|
Рис. 10.6 |
цепи на воздействие будем проводить следующим образом:
1) приложенное воздействие представим в виде ступенчатых функций , следующих друг за другом через равные интервалы времени (рис. 10.6,а);
2) реакцию цепи на каждое ступенчатое воздействие определяем через переходную характеристику цепи;
3) результирующую реакцию цепи от всей системы ступенчатых воздействий находим исходя из принципа наложения.
В таблице 10.1 показан порядок получения реакции (рис. 10.6,б) цепи от каждого ступенчатого воздействия (рис. 10.6,а).
Таблица 10.1
Временной интервал |
Подключенное воздействие |
Реакция от подключенного воздействия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
|
|
|
Согласно принципу наложения реакцию цепи можно рассчитать, как сумму реакций от каждого ступенчатого воздействия в отдельности:
.
Переходя к пределу с учетом того, что при выполняется и , получим одну из форм интеграла Дюамеля:
. (10.4)
Полученное уравнение (10.4) позволяет вычислить реакцию цепи на заданное воздействие.
Кроме выражения (10.4) существует еще несколько форм интеграла Дюамеля. Вторая форма интеграла Дюамеля может быть получена с помощью теоремы свертки (см. гл. 11):
.
Интегрируя по частям (10.4) запишем еще две формы интеграла Дюамеля:
;
.
Выбор той или иной формы интеграла Дюамеля определяется удобством и простотой вычисления интегралов.
Представленные формы интегралов Дюамеля можно использовать также в случае, когда воздействие задано кусочно-аналитической кривой,
имеющей разрывы в местах стыка. Пусть воздействие задано в виде (рис. 10.7)
Используя первую форму записи интеграла Дюамеля (10.4), получим для каждого временного интервала: |
|
Рис. 10.7 |
при ;
при
+ ;
3) при +
Отметим, что используя обобщенные функции, возможно записать формулу для расчета реакции цепи компактнее. Для этого перепишем воздействие в виде
Теперь для вычисления реакции цепи можно пользоваться выражением (10.4), заменяя в нём операцию дифференцирования на обобщенное дифференцирование
.
Пример 10.4
Рассчитать напряжение при подключении цепи (рис. 10.8,а) к источнику напряжения , график которого показан на рис.10.8,б.
Решение
Сначала вычислим переходную характеристику по напряжению . Для этого операторным методом рассчитаем напряжение при
а) |
б) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 10.8 |
Рис. 10.9 |
подключении цепи к источнику постоянного напряжения .
Операторная схема замещения показана на рис. 10.9. Операторное изображение входного напряжения . Для цепи на рис. 10.9:
, .
Тогда операторное изображение выходного напряжения
,
где ; .
Оригинал выходного напряжения находим по теореме разложения:
; , ; ; ; .
Таким образом, переходная характеристика по напряжению
.
Для определения реакции цепи на воздействие используем интеграл Дюамеля в виде (10.4):
.
Обозначим , тогда для промежутка выходной сигнал
Для промежутка необходимо учесть скачок напряжения при , тогда
Качественный график временной зависимости напряжения на емкости при условии показан на рис. 10.10. |
|
Рис. 10.10 |