Вопросы и задачи
Вычислить пределы:
п1. а)
;
б)
;
в)
;
г)
п2. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
ж)
з)
;
и)
Задачи к практическому занятию
Вычислить пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
11. Производная функции Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте §13.1-13.9 лекций. Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Выполните задания. Прочитайте §15.1 лекций.
Определение
производной функции, ее геометрический
и физический смысл, ее свойства подробно
описаны в лекциях. Займемся непосредственно
вычислением производных, для чего
используем сводную таблицу формул
дифференцирования (с.70). Вторая часть
таблицы, в которой приведены производные
основных элементарных функций, записана
для сложных функций вида f(u),
u=u(x).
При этом следует помнить, что
.
Примеры.
Вычислить производные функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)y=sin2x;
д)y=ln(x2+1)
Решение:
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
д)
.
Производная широко применяется в исследовании функции и при решении связанных с этим практических задач. В том числе дифференцирование применяют для вычисления пределов, используя так называемое правило Лопиталя:
Предел отношения
функций, представляющий неопределенность
вида
или
,
равен пределу отношения их производных:
Заметим при этом, что если возможно заменить какие-либо функции им эквивалентными, это следует сделать перед применением правила Лопиталя для облегчения процесса дифференцирования.
Вопросы и задачи
п1. Найти производные функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
Задачи к практическому занятию
Для данной функции
найти производную
:
1.
2.
3.
4. 
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
16. 
; 17.
; 18.
;
19.
; 20.
; 21.
;
22.
; 23.
; 24.
;
25.
; 26.
; 27.
;
28.
; 29.
; 30.
12-13. Производная и дифференциал. Исследование функций.
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте предложенные рассуждения и примеры, выполните задания. Прочитайте §13.10-13.12, 14 лекций. Для решения задач 24-30 (занятие 13) почитайте §15 лекций
1. Дифференциал функции
Пример.
Дана функция
.
Найти ее первый дифференциал dy
Решение:
Воспользуемся формулой первого
дифференциала:
.
.
Таким образом,
.
2. Производные и дифференциалы высших порядков
Пример.
Дана функция
Найти
Решение:
Воспользуемся формулой второго
дифференциала:
.
Для того, чтобы найти вторую производную
,
продифференцируем данную функцию
последовательно дважды:
;
.
Таким
образом,
Вопросы и задачи
п1. Найти dy, y:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
Задачи к практическому занятию
Найти dy, y:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Найти y (при помощи логарифмического дифференцирования)
7.
8.
9.
10.
11.
Найти yx
12. 
13.
14.
15.
16.
17.
Написать уравнение касательной к графику данной функции в данной точке:
18.
; 19.
20.
21.
; 22.
23.
Исследовать функцию и построить график:
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.