Задания к практическим занятиям
1. Найдите обратную матрицу А-1, если
а)
;
б)
;
в)
2. Как исправить ошибочно найденные матрицы А-1 из задания п2?
3. Решите систему, используя обратную матрицу:
;
4. Решите системы линейных уравнений, используя метод Гаусса:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
5.Решить системы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
Тема II – аналитическая геометрия
4-5. Векторы
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте §5 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.
Примеры.
Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5)
1. Найти координаты
векторов
.
Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):
;
;
2
.
Найти четвертую вершину параллелограмма
ABCD.
Решение:
Для того, чтобы четырехугольник АВСD
был параллелограммом, необходимо и
достаточно, чтобы противолежащие стороны
были параллельны и равны по длине. Иными
словами, векторы, образующие противолежащие
стороны, должны быть равны:
.
Для этого должны быть равны координаты
этих векторов:
,
следовательно,
,
откуда
.
Таким образом, искомая точка D(0;4)
Даны векторы:
.
3. Найти скалярное
произведение векторов
и
,
Решение: Найдем координаты указанных векторов:
,
.
Воспользуемся координатным выражением скалярного произведения векторов:
4. Найти векторное произведение векторов и ,
Решение: Воспользуемся координатным выражением векторного произведения векторов:
.
Таким
образом,
5
.
Найти стороны и углы треугольника,
образованного данными векторами,
отложенными из одной точки.
Решение: Стороны
треугольника как длины образующих его
векторов можно найти, зная координаты
этих векторов. Найдем предварительно
координаты вектора
,
образующего третью сторону треугольника.
По правилу вычитания векторов,
.
Теперь воспользуемся координатным
выражением модуля вектора:
,
,
.
Далее, угол между векторами, зная их координаты, мы можем найти при помощи скалярного произведения.
Угол А
треугольника образован векторами
,
следовательно,
.
Угол В
образован векторами
,
следовательно,
.
Угол С
образован векторами
,
следовательно,
Заметим, что все углы данного треугольника острые; если один из углов тупой, то соответствующий косинус отрицателен.
6. Найти площадь этого треугольника.
Решение:
Есть несколько способов найти площадь
треугольника, мы воспользуемся способом,
связанным с векторами, а именно –
геометрическим смыслом векторного
произведения. Согласно ему, площадь
треугольника АВС равна половине модуля
векторного произведения векторов
.
Векторное произведение векторов равно
.
Модуль найденного векторного произведения равен
.
Следовательно, площадь треугольника АВС равна
Вопросы и задачи
п1. В треугольнике
АВС сторона АВ разделена точками М и N
на три равные части. Найти вектор
,
если
.
п2. Дано:
.
Доказать, что ABCD – трапеция. (Указание:
найти вектор
и доказать, что
)
п3. Даны точки: А(0;2;3), В(-1;2;5), С(4;-2;-3).
а) Найти координаты векторов .
б) Найти координаты точки D, так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом
п4. Найти
скалярное произведение векторов
и
,
если
п5. Даны
2 вектора:
.
Будучи отложены из одной точки, они
образуют две стороны треугольника.
Найти:
а) длины сторон этого треугольника, б) углы этого треугольника
п6. Найти
векторное произведение векторов
и
,
если
п7. Найти площадь треугольника из задачи п5.
п8. Пусть даны два
вектора на плоскости:
.
а) запишите в координатном выражении условие коллинеарности (параллельности) этих векторов.
б) запишите в координатном выражении условие перпендиклярности этих векторов.
в) существует ли векторное произведение этих векторов? (если да – найдите, если нет – объясните)