7. Трехмерные математические модели

7.1. Нагрев бесконечной пластины, ограниченной по z мгновенным неподвижным точечным источником

Трехмерное уравнение теплопроводности имеет вид

Получим решение для следующих краевых условий

, ,

функции источника тепла

Функция Грина для приведенных условий имеет вид:

Общее выражение для решения по методу функций Грина принимает вид

Используя для решения свойства дельта-функции окончательно получим

По данному выражению можно произвести расчет температуры в любой точке (на любом расстоянии от самого источника) в зависимости от времени после окончания действия источника тепла (t). Необходимо обратить внимание на то, что в момент времени температура стремится к бесконечности. Это связано с тем, что мы используем точечный источник с бесконечно малым диаметром пятна нагрева. Реальный источник распределен по определенному диаметру (пятно нагрева), как правило, по нормальному закону, и его распределение зависит от коэффициента сосредоточенности k. Для определения коэффициента сосредоточенности используется фиктивный источник.

Подберем фиктивный сосредоточенный источник, тепло которого, распространяясь по пластине в течение времени t₀, приводит к такому же распределению температуры, которое вызвано реальным нормально-круговым источником. Таким образом, распределение температуры, вызванное действием нормально-кругового источника, можно рассматривать как распределение температуры от фиктивного сосредоточенного источника, введенного в определенной точке на t₀ ранее.

Длительность распространения фиктивного источника

обратно пропорционально коэффициенту сосредоточенности нормально-кругового источника и коэффициенту температуропроводности металла пластины.

С учетом действия фиктивного источника длительностью приведенная ранее формула приобретает вид

В этой формуле присутствует, как постоянная времени, а  время в любой момент после окончания действия источника, в том числе и при .

7.2. Нагрев бесконечной пластины непрерывно-действующим подвижным нормально-круговым источником

Трехмерное уравнение теплопроводности в подвижной системе координат имеет вид

Получим решение для следующих краевых условий

, ,

Функция источника тепла равна

Функция Грина для приведенных условий в неподвижной системе координат имеет вид

В подвижной системе координат функция Грина принимает следующий вид:

Общее выражение для решения по методу функций Грина можно описать выражением

Используя для решения данного выражения свойства дельта-функции и единичной функции, а также постоянную времени окончательно получим

Полученная модель используется для расчета распределения температуры при различных видах сварки, где сварочный источник нагрева может быть представлен в виде непрерывно-действующего в течение периода t точечного (нормально-кругового) источника.