- •1. Тепловые процессы при сварке
- •2. Основы теории теплопроводности
- •2.1. Основные понятия
- •2.2.Закон теплопроводности Фурье
- •2.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •3. Математическая постановка краевых задач теплопроводности
- •3.1. Условия однозначности
- •3.2. Краевые условия
- •4. Математическое описание наиболее распространенных сварочных источников тепла
- •4.1. Дельта-функция Дирака
- •4.2. Описание сварочных источников тепла
- •4.2.1. Форма сварочных источников теплоты
- •4.2.2. Математическое описание некоторых неподвижных источников теплоты
- •5. Построение тепловых математических моделей с использованием метода функций Грина
- •5.1. Общее описание метода функций Грина
- •5.2. Построение функций Грина
- •Нестационарных тепловых процессов
- •6. Одномерные задачи теплопроводности со сварочными источниками тепла
- •6.1. Нагрев бесконечного стержня мгновенным точечным источником
- •6.2. Нагрев конечного стержня мгновенным точечным источником тепла
- •6.3. Нагрев конечного стержня непрерывно-действующим точечным источником
- •6.4. Нагрев стержня проходящим током.
- •7. Трехмерные математические модели
- •7.1. Нагрев бесконечной пластины, ограниченной по z мгновенным неподвижным точечным источником
- •7.2. Нагрев бесконечной пластины непрерывно-действующим подвижным нормально-круговым источником
- •7.3. Нагрев бесконечной пластины непрерывно-действующим линейным по глубине (оси z) источником
6. Одномерные задачи теплопроводности со сварочными источниками тепла
6.1. Нагрев бесконечного стержня мгновенным точечным источником
У равнение теплопроводности и краевые условия при нагреве бесконечного стержня, площадь которого равна F, точечным источником, действующим в начале координат, имеют вид
,
(начальные условия)
, (граничные условия I рода)
, .
Известно, что для этих условий функция Грина (№1) описывается выражением
.
функция теплового источника имеет вид
, ,
где: Q – количество введенной в стержень теплоты (Дж), S – площадь стержня (м2).
Таким образом, выражение для распределения температуры в стержне при использовании метода функций Грина имеет вид:
Вынесем постоянные величины за знак интеграла
Принимая во внимание рассмотренные ранее свойства дельта-функции получим
,
,
и окончательно получаем следующее выражение
6.2. Нагрев конечного стержня мгновенным точечным источником тепла
Уравнение теплопроводности и краевые условия имеет вид
,
, , , ,
Для указанных выше условий функций Грина (№4) описывается следующим выражением
.
функция источника имеет вид
,
Тогда выражение для расчета температурных полей приобретает вид:
После соответствующих преобразований с использованием свойств дельта-функции получим окончательное решение:
.
6.3. Нагрев конечного стержня непрерывно-действующим точечным источником
Уравнение теплопроводности и краевые условия имеет вид
,
, , , , .
Для указанных выше условий функция Грина имеет вид
Примем, что точечный тепловой источник находится в центре стержня, тогда функция теплового источника принимает следующий вид
,
В этом случае выражение распределения температуры принимает вид:
После преобразования данного выражения с использованием дельта-функции получим окончательное решение
,
где q – удельный тепловой поток, Вт/м2.
Полученную формулу можно использовать для определения температуры в процессе нагрева, т.е. в любой момент действия источника тепла. Эту же формулу можно использовать и для определения температуры в процессе охлаждения, т.е. в любой момент после окончания действия источника тепла. Для этого обозначим текущее время через t, тогда его можно представить в виде , где: - длительность действия источника тепла; - текущее время после окончания действия источника тепла. Так как при интегрировании мы как бы суммируем действие мгновенных точечных источников, то пределы интегрирования изменяются от 0 до . В этом случае формула принимает следующий вид:
6.4. Нагрев стержня проходящим током.
Поскольку свариваемые стержни зажимаются в массивных токоподводах, можно принять, что температура зажатых частей стержней равна комнатной (для упрощения равной нулю). Поэтому принимается схема ограниченного стержня с граничными условиями первого рода.
Нагрев стержней при прохождении по ним электрического тока нагревается в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Уравнение теплопроводности и краевые условия имеют вид
,
, , , , .
Для указанных условий выбираем функцию Грина № 4
Так как тепло выделяется в течение всего времени сварки и по всей длине свариваемых стержней, то функция теплового источника принимают следующий вид
,
,
.
При контактной сварке сопротивлением ток плотностью j протекает непрерывно, его среднее значение находится либо расчетным путем, либо с помощью специальных измерительных приборов. Обычно при сварке сопротивлением малоуглеродистой стали плотность тока составляет 20…60 А/мм2.
Мощность теплового источника можно определить по формуле
,
где r – удельное электросопротивление свариваемой стали,
l – длина конечного стержня
Выражение распределения температуры принимает вид:
Из таблиц интегралов известно, что
,
Проинтегрируем выражение для по длине:
Данный интеграл можно представить в виде двух интегралов: .
Тогда
Произведем замену переменных
, ,
Подставим полученные выражения в формулу I1
Определим новые пределы интегрирования:
,
Выражение для I1 принимает вид
С использованием табличного интеграла данное выражение принимает следующий вид
Проведем такие же преобразования с интегралом
Введем обозначения
, ,
Интеграл I2 принимает вид
Пределы интегрирования принимают следующие значения:
,
Тогда
Окончательное решение получим подставляя выражения для I1 и I2 в формулу
Таким образом