- •1. Тепловые процессы при сварке
- •2. Основы теории теплопроводности
- •2.1. Основные понятия
- •2.2.Закон теплопроводности Фурье
- •2.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •3. Математическая постановка краевых задач теплопроводности
- •3.1. Условия однозначности
- •3.2. Краевые условия
- •4. Математическое описание наиболее распространенных сварочных источников тепла
- •4.1. Дельта-функция Дирака
- •4.2. Описание сварочных источников тепла
- •4.2.1. Форма сварочных источников теплоты
- •4.2.2. Математическое описание некоторых неподвижных источников теплоты
- •5. Построение тепловых математических моделей с использованием метода функций Грина
- •5.1. Общее описание метода функций Грина
- •5.2. Построение функций Грина
- •Нестационарных тепловых процессов
- •6. Одномерные задачи теплопроводности со сварочными источниками тепла
- •6.1. Нагрев бесконечного стержня мгновенным точечным источником
- •6.2. Нагрев конечного стержня мгновенным точечным источником тепла
- •6.3. Нагрев конечного стержня непрерывно-действующим точечным источником
- •6.4. Нагрев стержня проходящим током.
- •7. Трехмерные математические модели
- •7.1. Нагрев бесконечной пластины, ограниченной по z мгновенным неподвижным точечным источником
- •7.2. Нагрев бесконечной пластины непрерывно-действующим подвижным нормально-круговым источником
- •7.3. Нагрев бесконечной пластины непрерывно-действующим линейным по глубине (оси z) источником
2.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности
Для расчета температур необходимо не только знать тепловой поток, проходящий через рассматриваемое сечение, но и определенное количество теплоты, которое накапливается или теряется элементарным объемом тела. Если количество теплоты в этом объеме возрастает, то температура увеличивается и наоборот. На основании закона сохранения энергии и закона теплопроводности Фурье можно получить дифференциальное уравнение теплопроводности, которое описывает процесс изменения температуры.
Для однородного изотропного тела уравнение теплопроводности с внешним источником имеет вид
,
где с – удельная теплоемкость, Дж/(кгК); – плотность конструкционных материалов, кг/м3; температуропроводность, м2/с; функция, описывающая тепловой источник.
3. Математическая постановка краевых задач теплопроводности
3.1. Условия однозначности
Дифференциальное уравнение теплопроводности является математической моделью целого класса явлений теплопроводности и само по себе не характеризует процесс развития теплопереноса в рассматриваемом теле. Математически это объясняется не единственностью решения дифференциальных уравнений в частных производных, к которым относится уравнение теплопроводности. Чтобы получить из множества решений одно частное решение, необходимо иметь дополнительные данные, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении теплопроводности. Эти дополнительные условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением однозначно определяют конкретную задачу т, называют условиями однозначности.
В условия однозначности входят.
Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс теплообмена. Формы тел, нагреваемых при сварке, весьма разнообразны. Распространение теплоты существенно зависит от формы размеров тела. Но точный учет конфигурации тела значительно усложняет математическую модель, а в ряде случаев получить ее аналитическим путем невозможно. Поэтому чаще всего упрощают формы рассматриваемых тел, сводя их к простейшим. Выбор схемы должен основываться на четком понимании сущности процесса в целом.
При решении задач приняты следующие схемы теплопроводящих тел: бесконечное тело; полубесконечное тело; бесконечная пластина; полубесконечная пластина; ограниченная пластина; бесконечный стержень; полубесконечный стержень; ограниченный стержень. Математически эти тела можно описать такими неравенствами:
Бесконечное тело. Этой схеме соответствует массивное тело, имеющее неограниченную протяженность по всем трем координатам x, y, z. Математически это описывается следующим образом:
, , .
Полубесконечное тело. Этой схеме соответствует массивное тело с одной ограничивающей плоскостью z=0. Математически это описывается следующим образом:
, , .
Бесконечная пластина (рис. 1 а). Бесконечная пластина представляет собой тело, ограниченная двумя параллельными плоскостями z=0 и z=L (L – толщина пластины):
Полубесконечная пластина (рис. 1 б). Полубесконечная пластина представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями z=0, z=L и плоскостью y=0:
, , .
Ограниченная по ширине пластина (рис. 1 в). Такая пластина представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями z=0, z=L и двумя параллельными плоскостями y=0, y=B (В – ширина пластины):
, , .
Ограниченная пластина (рис. 1 г). Ограниченная пластина представляет собой тело, ограниченное шестью плоскостями z=0, z=L, y=0, y=B, х=0, х=S:
, , .
Бесконечный стержень (рис. 1 д). Представляет собой одномерное тело с любым сечением и неограниченное в направлении х, а температура равномерна в пределах поперечного сечения: .
Полубесконечный и ограниченный стержни (рис.1 е и 1 ж). Представляют собой одномерные тела, ограниченные соответственно одной (х=0) и двумя (х=0 и х=L) плоскостями. Описываются они следующим образом: 0 х и 0 х L.
Физические условия, характеризующие физические свойства тела (тепло- и температуропроводность), а также закон распределения внутренних источников теплоты.
Граничные условия, характеризующие особенности теплового взаимодействия граничной поверхности тела с окружающей средой.
Временные, или начальные условия, характеризующие состояние тела в исходный момент времени, или, иначе, определяющие распределение температуры в любой точке тела в некоторый момент времени, который для исследуемого процесса теплообмена принимается за начальный.
Перечисленные условия в совокупности определяют одно (конкретное) явление теплопроводности и в этом смысле могут быть также названы условиями единственности.
Для тела определенной геометрической формы с определенными (известными) физическими свойствами условия однозначности сводятся к заданию начального и граничного условия. Эти условия в совокупности называются краевыми условиями. Итак, начальное условие является временным краевым условием, а граничные условия – пространственными краевыми условиями. Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями составляет краевую задачу уравнения теплопроводности.
Для установившегося процесса теплопроводности необходимость задавать начальное условие отпадает, и в этом случае краевая задача будет состоять из уравнения теплопроводности и граничных условий.