Построение графиков функций

Для построения графика функции y = f(x) нужно последовательно выполнить шаги, указанные в следующих пунктах.

1). Найти область определения функции и исследовать поведение функции на границах этой области и в окрестностях точек разрыва.

2). Найти асимптоты в случае их существования.

3). Выяснить четность и нечетность функции и ее периодичность.

4). Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.

5). Определить направление вогнутости и найти точки перегиба.

6). Найти точки пересечения графика с осями координат и некоторые дополнительные точки графика.

7). Результаты исследования и найденные точки изобразить в системе координат и можно строить график.

Пример 18. Исследовать функцию у = 3х⁵  5х³ и построить ее график.

Решение. 1). Указанные в формуле 3х⁵  5х³ действия можно производить над любыми числами, поэтому функция всюду определенная и ее область определения равна . Исследуется поведение функции при х   . Для этого функция преобразуется к виду у = х³(3х² 5). Тогда легко видеть, что если x  , то х³  (+)³ = + и (3х²5)  3()² 5 = +, следовательно, у  . Если же x то х³ ³ =  и (3х² 5) ², следовательно, у

Таким образом, при х   у   и при х   у  В декартовой системе координат эту ситуацию можно изобразить, напри-

м ер, точками Р₁(+8; +8), Р₂(8; 8) и временно считать что график функции проходит через эти точки.

3). Проверется нечетность функции: f(x) = 3(х)⁵ 5(х)³ = 3х⁵ + 5х³ = (3х⁵5х³) = f(x). Это означает, что функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Данная функция состоит из непериодических функций, поэтому она непериодическая.

4). Вычисляется производная: у= 3(х⁵) 5(х³) = 15х⁴ 15х². Находятся критические точки: у= 0  15х² (х²1) = 0  х₁= 0, х₂= 1, х₃ = 1. Изображаются промежутки монотонности и определяются знаки у:

   + х

  1 0 1 

Черт.39.

На и функция возрастает; на (1; 0) и ( 0; 1) она убывает. Точки х₂ = 1, х₃ = 1 являются точками экстремума: х₂ = 1 точка максимумаи у_max = у(1) = 2; х₃ = +1 точка минимума и у_min = у(1) = 2. Точка х₁ = 0 не является точкой экстремума, так как у не меняет знак при переходе через 0.

5). Вычисляется производная 2-го порядка: у= (15х⁴ ) 15х²) = 60х³  30х. Находятся стационарные точки: у= 0  60х³  30х = 0 

х₁ = 0, х₄ , х₅ = 0,5. Изображаются промежутки вогнутости и определяются знаки у:

   

 0,5 0 0,5 

Черт.40.

Получено у< 0 на промежутках (;0,5), (0; 0,5), поэтому здесь график вогнут вниз. И у> 0 на промежутках (0,5; 0), (0,5; ), поэтому здесь график вогнут вниз. Вычисляются значения функции в стационарных точках: у(0)0,у(0,5)  1,24, у(0,5)1,24. Точки перегиба имеют координаты: О(0; 0), С(0,5; 1,24), D(0,5; 1,24).

6). Уравнение оси ОХ имеет вид у = 0, поэтому координаты точек пересечения с осью ОХ находятся из системы:

 у

ух⁵х³.

Ясно, чтох⁵х³ . Отсюда: х₁ х₆   1,29х₇  1,29

Получены точки пересечения с ОХ: О(0;0), А(1,29; 0), В(1,29; 0).

Уравнение оси ОY имеет вид х = 0, поэтому координаты точек пересечения с осью ОY находятся из системы:

 x 

• у = 3х⁵ 5х³

• Отсюда получается, что О(0; 0) точка пересечения сОY

x y

-1,29 0

-1 2

-0,7 -1,24

0. 0

0,7 1,24

0. -2

1,29 0

-1,4 -2,4

1,4 2,4

Y Р₁

y =3x⁵ 5x^{3 xx}

2

D

1 Х

A -1 O B

C

-2

Р₂

Черт.41.

7). Координаты найденных выше точек записываются в виде таблицы, и эти точки изображаюся в декартовой системе координат. Для уточнения графика находятся вспомогательные точки: Р₁(1,4; 2,4), Р₂(1,4; 2,4), теперь эти точки используются вместо указанных пункте 1 точек Р₁, Р₂. По найденным точкам строится график (см. чертеж 41).