Задачи на экстремум.

В таких задачах рассматриваются две переменные величины х и у, и требуется найти такое значение х, при котором значение у является наибольшим или наименьшим. Решение такой задачи содержит следующие шаги:

1. выбирается экстремальная величина y, максимум или минимум которой необходимо найти;

2. выбирается переменная х, и y выражается через х;

3. вычисляется производная у' и находятся критические точки, в которых у' равна 0 или не существует;

4. исследуются критические точки на экстремум;

5. рассматриваются значения y на концах, и вычисляется требуемая в задаче величина.

Пример 15. Экспериментально установлено, что расход бензина

у (л) на 100 км пути автомобилем ГАЗ-69 в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 18 0,3х + 0,003х². Определить наиболее экономичную скорость.

Решение. Здесь первые два шага 1) и 2) выполнены в условии задачи. Поэтому сразу вычисляется производная: у' = 0,3 +0,006х , и находится критическая точка: 0,3 + 0,006х = 0  х_о = 50 . Теперь, прменяется второе достаточное условие экстремума: у'' = 0,006 > 0 в любой точке, следовательно, х_о= 50  точка минимума. Вывод: наиболее экономичная скорость равна 50 км/ч, при этом расход бензина равен 18  0,350 + 0,00350² = 10,5 л. на 100 км.

Пример 16. Из квадратного листа картона со стороной 60 см вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим.

Решение. Осуществляются указанные выше шаги решения задачи.

1). По условию объем коробки должен быть наибольшим, поэтому пусть y  объем коробки.

2). За х (см) берется сторона вырезаемого квадрата. Тогда высота коробки будет равна х и основанием коробки будет квадрат со стороной

(60 – 2х), его площадь равна (60 – 2х)². Следовательно, объем коробки равен y = х(60 – 2х)² = 3600х  240х² + 4х³ .

3). Вычисляется производная и находятся критические точки: у' = 3600  480х + 12х²; х²  40х +300 = 0  х₁ х₂критические точки.

4). Производная 2-го порядка равна у'' =  480 + 24х и у''(10) = 240, у''(30) = 240. По теореме 8, х₁точка максимума и y_max = 400 (см³).

5). Кроме того, х может принять крайнее значение х₃ = 0. Но у(0) = 0  это меньше чем y_max.

Ответ: сторона вырезаемого квадрата равна 10 см.

§6. Исследование функции на вогнутость и точки перегиба

Определение 4. График функции y = f (x) называется вогнутым вверх на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке с абсциссой x, принадлежащей (a; b). График функции называется вогнутым вниз на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке с абсциссой x, принадлежащей (a; b).

Следующие утверждения описывают основные условия вогнутости графика функции.

Теорема 9 (необходимое условие вогнутости). Пусть функция y = f(x) имеет производную второго порядка на интервале (a; b). Тогда:

а) если ее график вогнут вверх, то f (x)  0 на (a; b);

б) если ее график вогнут вниз, то f (x)  0 на (a; b).

Теорема 10 (достаточное условие вогнутости). Пусть функция y = f(x) имеет производную второго порядка на интервале (a; b). Тогда:

а) если f (x) > 0 на (a; b), то график y = f(x) вогнут вверх на (a; b);

б) если f (x) < 0 на (a; b), то график y = f(x) вогнут вниз на (a; b).

Определение 5. Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называются точками перегиба.

Необходимое условие точки перегиба: если точка (x₀; f(x₀)) является точкой перегиба графика функции y = f(x), то ее производная второго порядка f (x) в точке x₀ равна нулю или не существует.

Точка x₀, в которой существует f (x₀), но f (x₀) равна нулю или не существует, называется стационарной точкой функции f(x).

Достаточное условие точки перегиба: если x₀  стационарная точка функции f(x) и f (x) меняет знак при переходе через x₀, то точка

(x₀; f(x₀)) является точкой перегиба графика этой функции.

Пример 17. Доисследовать на вогнутость и точки перегиба функцию

у = 0,25х⁴  0,5х² из примера 12.

Решение. В примере 12 найдена производная у = х³ х. Находятся производная второго порядка и стационарные точки, в которых y = 0:

y = 3х² 1; 3х² 1 = 0  х₁ = 1/3  0,58, х₂ = 1/3  0,58. Определяются знаки y:

+  + х

 0,58 0,58 +

Черт.38.

На промежутках (; 0,58) и (0,58; +) график вогнут вверх, на (0,58; 0,58) график вогнут вниз; х₁ = 0,58, х₂ = 0,58  абсциссы точек перегиба, и А(; 0,14), B(; 0,14)  точки перегиба (см. чертеж 37).