§3. Дифференциал функции
Пусть
функция y
= f(x)
имеет конечную производную в точке х0
:
0 при х 0; отсюда y = f (x0)х + х . Величина f (x0)х называется дифференциалом функции f(x), соответствующим точке x0 и приращению аргумента х; обозначения: dy, df.
В частности, дифференциал функции y = x равен х, т.е. dх = х. Поэтому вместо х пишут dх, тогда
dy = f (x0)dх. (46)
На чертеже 34 дифференциал dy равен отрезку NK, и потому говорят, что dy есть приращение касательной. Если f (x0)0, то dy является главной частью приращения функции y. Поэтому можно считать, что при достаточно малом х приращение функции y = f(x) – f(x0) приближенно равно ее дифференциалу: y dy. Отсюда получается формула для приближенного вычисления значений функции:
f(x) f(x0) + f (x0)dх. (47)
Пример 7. Для функции y = x3 – 2x +1 найти ее приращение y и дифференциал dy, соответствующие точке x0 = 1 и приращению х = 0,1.
Решение. Здесь x0 = 1, х = dх = x – x0 = 0,1, поэтому х = 1 + 0,1 = 1,1.
Тогда f(x) = f(1,1) = 1,13 – 2. 1,1 +1 = 0,131; f(x0) = f(1) = 13 – 2. 1 +1 = 0, 1;
f (x)= 3x2 – 2; f (x0)= f (1)3. 12 – 2 = 1. Получается: y = f(x) – f(x0) = 0,131– 0 = 0,131; dy = f (x0)dх = 10,1 = 0,1. Тогда y и dy отличаются на 0,031, т.е. это отличие незначительное.
Пример 8. Вычислить приближенно 34 помощью дифференциала.
Решение. Рассматривается функция y = x, и пусть x0 = 36, х = 34. Тогда х = 34 – 36 = 2; f(x) = 34; f(x0) = 36 = 6; f (x)= (x ) = 1/(2x); f (x0)= 1/(236) . Теперь, применяется формула (47): 34 6 + (1/12)(2) = 1= 6 1/6 5,833. Легко видеть, что полученное значение 5,833 отличается от истинного значения34 не более чем на 0,002, т. е. формула (47) дает достаточно точные значения функции.
§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Если функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка (a; b), то она называется дифференцируемой на (a; b). Производная функции является основным современным инструментом при исследовании свойств функций и процессов, описываемых этими функциями. Ниже приведены основные теоремы о дифференцируемых функциях, на которые опираются правила применения производных в таких исследованиях.
Теорема 1. Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть f(x) имеет производную f (x0). В §4 показано, что в этом случае приращение функции y = f(x) f(x0) представимо в видеy = f (x0)х + х. Отсюда следует, что разность f(x) f(x0) является бесконечно малой величиной при х 0, а это означает, что
Т
еорема
Ролля.
Если
функция
f(x)
определена и непрерывна на сегменте
[a;
b],
дифференцируема
на
(a;
b)
и на концах принимает одинаковые значения
f(а)
= f(b),
то
существует точка
x0
из
(a;
b)
такая,
что
f (x0) = 0.
Доказательство. Пусть выполняются все условия теоремы, тогда, по теореме 2 из главы 4, f(x) достигает на [a; b] наибольшее и наименьшее значения. Если эти значения достигаются на концах [a; b], то f(x) постоянная, и тогда ее производная равна 0 в любой внутренней точке [a; b], т.е. утверждение теоремы выполняется. Теперь, пусть наибольшее значение f(x) достигается в некоторой внутренней точке x0 из (a; b), т.е. для всех x из [a; b] выполняется неравенство f(x0) f(x). Тогда приращение функции y = f(x) f(x0) 0. Отсюда следует, что
П
о
условию, существует
f
(x0),
следовательно, эти пределы существуют
и оба равны значению f
(x0).
Тогда f
(x0)
= 0, т.е. утверждение теоремы выполняется.
Аналогично рассматривается случай,
когда наименьшее значение f(x)
достигается внутри (a;
b).
Теорема доказана.
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a; b], дифференцируема внутри (a; b), то существует точка x0 из (a; b) такая, что
f(b) f(a) = (b a)f (x0).
Д
оказательство.
Пусть выполняются все условия теоремы,
тогда вводится следующая функция:
Легко
проверяется, что эта функция удовлетворяет
всем условиям теоремы Ролля. Тогда
существует точка x0
из (a;
b)
такая, что F
(x0)
= 0. Но это равенство означает, что
Отсюда легко получается искомое
равенство. Теорема доказана.