Занятие 13. Обращение свертки. Вычитание аппаратной функции

Цель работы: создание виртуальных приборов свертки и обращения свертки и использование их для вычитания аппаратной функции из экспериментальных спектров.

Экспериментально измеренные спектры часто бывают искажены вследствие наличия аппаратной функции измерительного прибора (например, при большой входной щели оптического спектрометра в получаемом спектре сглаживается тонкая структура и т. д.). Результирующий спектр в таком случае, как правило, представляет собой свертку истинного спектра и аппаратной функции и представляется в виде (см. занятие 6):

,

где f(x) – истинный спектр; a(x) – аппаратная функция. Задача вычитания аппаратной функции заключается в операции обращения свертки при условии, что вид самой аппаратной функции известен.

13.1. Свертка функций

1. Постройте виртуальный прибор, обеспечивающий свертку двух функций. Для этого используйте subVI Convolution.vi (Analyze >> Signal Processing >> Time Domain).

2. Выполните свертку функций Гаусса и Лоренца. Функция Гаусса имеет вид (см. занятие 7)

.

^{Кривая Лоренца описывается следующим выражением:}

^,

^{где x}_m ^{– положение максимума кривой (резонансная частота);  – ширина линии на уровне 0.5 от максимума. Этими двумя кривыми и их комбинациями часто описываются различные спектральные линии. Нормировочные множители выбираются таким образом, чтобы соответствующие интегралы по всей области определения обращались в единицу.}

^{Осуществите свертку кривых Гаусса и Лоренца с различными параметрами уширения и резонансной частоты. Расчет функций выполните в одном узле For Loop.}

^{Обратите внимание, что прибор Convolution.vi имеет два алгоритма расчета свертки – в координатном и частотном представлении. Когда выбран алгоритм в частотной реализации (по умолчанию), VI вычисляет свертку, используя быстрое преобразование Фурье.}

13.2. Реализация обращения свертки

1. Разработайте VI для осуществления операции обращения свертки.

Обращением свертки (Deconvolution) называется операция, обратная операции свертки. На практике она реализуется через прямое и обратное преобразования Фурье. Пусть ℱ[f] есть преобразование Фурье функции f, а ℱ[g] – преобразование Фурье функции g. Тогда справедлива следующая теорема о свертке:

ℱ[f_*g] = ℱ[f] _* ℱ[g],

где ℱ[f_*g] – свертка функций f и g.

В соответствии с теоремой о свертке, функцию g можно найти из выражения

g = ℱ^–1[ℱ[f_*g]/ ℱ[f]],

где ℱ^–1 – обратное преобразование Фурье.

Для реализации виртуального прибора обращения свертки введите узел Deconvolution.vi из палитры Analyze >> Signal Processing >> Time Domain или создайте свой собственный прибор с использованием FFT.vi и Inverse FFT.vi, следуя п. 1.

2. Загрузите с диска в VI данные, имитирующие собой спектр, искаженный аппаратной функцией спектрометра (файл sigapp.dat). Используйте Extract Numbers.vi, который находится в каталоге EXAMPLES >> GENERAL >> STRINGS.LLB (см. занятие 12).

3. Постройте аппаратную функцию спектрометра. Пусть в нашем случае она представляет собой функцию Гаусса с дисперсией 0.3. Для расчета функции Гаусса можно использовать узел For Node.

4. Реализуйте вычитание аппаратной функции посредством обращения свертки. Определите оптимальное соотношение количества точек исходного сигнала и аппаратной функции. Запишите полученный спектр на диск.

5. Составьте отчет по лабораторной работе.