5тема
.pdfСодержание
Исходные данные………………………………………………………………….……………………..3
Нормировка параметров и переменных цепи…………………………………………………………..4 Часть 1. Исследование цепи во временной области.……..……….……….…………………….……4
1.1.Составление уравнений состояний цепи. ……………………………………………….….5
1.2.Нахождение точного решения уравнений состояния……………………………………...6
1.3.Численное решение уравнений состояний…………………………………………………8 Часть 2. Анализ цепи операторным методом………………………………………………………….12
2.1.Определение передаточной функции цепи……………………………………………..…12
2.2Полюсы и нули передаточной функции……………………………………………..…….13
2.3.Определение переходной и импульсной характеристики…………………………...…..14
2.4.Определение изображения по Лапласу входного одиночного импульса………...……..16
2.5Определение тока uH(t) на выходе цепи, используя HU(s)………………………………...17
Заключение………………………………………………………………………………………………18
Список литературы………………………………………………………………...................................19
2
Исходные данные
R1=500 Ом R3=2000 Ом R4=4000 Ом Rн=1000 Ом С1=5·10-6 Ф L3=0.1 Гн
L3
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|||
|
|
R1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i0(t) |
|
|
u0(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rн |
|
|
|
|
C6 |
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1. Расчетная цепь
|
Рис. 2. Форма импульса |
|
U0=5 В I0=2·10-3 A |
Um=10 В tи=6·10-5 c |
T=18·10-5 c |
3
|
|
|
|
|
Нормирование параметров и переменных цепи |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выбрав |
в качестве |
независимых базисных |
|
|
|
параметров Rб = 1000 Ом, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Lб =0.1 Гн, Uб=1 В. Тогда остальные базисные значения будут равны: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сб |
|
|
Lб |
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
10 7 Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
1000 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тб |
|
|
|
|
Lб |
|
|
0.1 |
|
|
|
10 |
4 c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rб |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iб |
Uб |
|
1 |
|
|
|
|
1 10 |
3 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rб 1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Параметры цепи примут следующие значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
R1* |
|
R1 |
|
|
|
|
500 |
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3* |
|
|
R3 |
|
|
|
2000 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Rб |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rб |
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4* |
|
|
R4 |
|
4000 |
|
|
|
4 |
Rн* |
|
|
Rн |
|
|
|
1000 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rб |
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rб |
|
|
|
1000 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
5 10 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
L1* |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
С1* |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Lб |
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
Сб |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
T* |
|
|
T 18 10-5 |
|
|
|
|
|
180 tи* |
|
tи |
|
6 10-5 |
|
|
60 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Tб |
|
|
|
10-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Tб |
|
|
|
10-4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
U |
0* |
U 0 |
|
|
5 |
|
|
|
5 U m* |
|
|
|
|
U m |
10 |
|
|
|
10 |
|
|
I0* |
|
|
|
I0 |
|
|
2 10-3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
U б |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U б |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Iб |
|
|
10-3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для простоты записи знак нормировки (*) в дальнейшем опускаем.
Сделаем переобозначение:
R2=R4=4 С= С1=0.5 L= L1=1
4
Часть 1. Исследование цепи во временной области.
1.1. Составление уравнений состояний цепи.
Получим уравнения состояния цепи с помощью формальной процедуры, для чего заменим C-элемент на источник напряжения uC(t ), а L-элемент на источник
тока iL(t ). Для применения метода узловых напряжений, заменим источник
напряжения u0 на источник тока |
i1 |
u0 |
|
5 |
10 |
|
R1 |
0.5 |
|||||
|
|
|
||||
Соответствующая схема замещения приведена на рис.3.
В полученной резистивной цепи c с помощью МУН найдем iC(t )
iL(t)
1 |
2 |
|
R3 iС(t) uL(t)
и uL(t).
3
iн
i1(t) |
|
|
|
|
|
|
i0(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
Rн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За базовый узел возьмѐм нулевой узел, тогда |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
u1у |
uc (t) |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
u2у ( |
|
|
|
|
|
) u3у ( |
|
|
) iL (t) |
|
|||
R |
|
R |
R |
|
|||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|||
u у |
( |
1 |
|
) u y ( |
1 |
1 |
|
) i (t) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
R |
|
3 |
R |
|
|
R |
0 |
|
|||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
н |
|
||||
|
|
u1у |
uc (t) |
|
|
|
|
|
|
||||
0.75u2у |
|
0.5u3у |
iL (t) |
|
|||||||||
0.5u у |
|
1.5u y |
|
i (t) |
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
u1у uc (t)
u у |
1.714i |
L |
(t) |
0.571i (t) |
2 |
|
|
0 |
|
u у |
0.571i |
L |
(t) |
0.857i (t) |
3 |
|
|
0 |
Тогда
uL (t) u1y u2y |
uc (t) |
1.714iL (t) 0.571i0 (t) |
|||
|
|
u y |
|
|
|
iC (t) i1 |
(t) |
1 |
iL (t) |
2uc (t) iL (t) i1(t) |
|
R1 |
|||||
|
|
|
|
||
Используя соотношения u, |
(t) |
1 |
i (t) |
|
|||
C |
|
C |
C |
|
|
|
получим уравнения состояния:
, iL, (t) |
1 |
uL (t) |
|
||
|
L |
|
|
d |
uC (t) |
4uc (t) 2iL (t) 20 |
|
|
dt |
|||
|
|
|
||
d |
|
iL (t) |
uc (t) 1.714iL (t) 1.142 |
|
|
|
|||
dt |
|
|
||
Уравнения состояния в матричной форме:
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
uC (t) |
4 |
2 |
uC (t) |
20 |
|
dt |
|||||||
|
d |
iL (t) |
1 |
1.714 |
iL (t) |
1.142 |
|
|
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Определим характеристический полином цепи, который здесь определяют как
|
|
|
|
|
det (p[E] −[A]) = 0. |
det ([A] - p[E]) |
det( |
p 4 |
2 |
) p 2 5.714 p 8.856 |
|
|
|
|
0.857 |
p 1.714 |
|
Корни характеристического полинома: |
|||||
p2 |
2.857 |
0.832 j |
|
|
|
p1 |
2.857 |
0.832 j |
|
|
|
1.2. Нахождение точного решения уравнений состояния
Зная корни характеристического полинома можно записать точное решение уравнений состояний в виде:
u (t) |
A e 2.857t cos(0.832t |
A ) |
u |
|||
|
c |
1 |
2 |
|
c _ св |
|
i |
L |
(t) |
B e 2.857t cos(0.832t |
B ) |
i |
L _ св |
|
|
1 |
2 |
|
||
Вынужденные составляющие определяются из уравнений состояний:
6
0 |
4uc _ св 2iL _ св |
20 |
0 uc _ св 1.714iL _ св |
1.142 |
|
uc _ св |
4.129 |
|
iL _ св |
1.743 |
|
Определим независимые начальные условия из цепи:
iL(0-) |
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
iн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
||
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u0(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uС(0-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
4. |
|
|
|
|
iL (0 |
) |
|
|
U 0 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2.258 |
|
|
R1 |
R2 |
(R3 |
Rн) |
|
0.5 |
4(2 |
1) |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R2 |
R3 |
Rн |
4 |
2 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
uc (0 ) U0 |
|
iL (0 )R1 |
iL (0 |
)R3 |
5 2.258 0.5 3.871 |
|||||||||
Для определения постоянных интегрирования найдѐм начальные значения производных из уравнений состояний:
u'c (0 ) |
4uc (0 ) 2iL (0 ) 20 0 |
|
i'L (0 ) uc (0 |
) 1.714iL (0 ) 1.142 |
1.141 |
Уравнения для отыскания постоянных интегрирования:
uc (0 |
) |
A1 cos(A2 ) |
4.129 |
3.871 |
|
iL (0 |
) |
B1 cos(B2 ) |
1.743 |
2.258 |
|
u'c (0 |
) |
2.857A1 cos(A2 ) |
0.832A1 sin(A2 ) |
0 |
|
i'L (0 |
) |
2.857B1 cos(B2 ) |
0.832B1 sin(B2 ) |
1.141 |
|
|
|
|
|
7 |
|
Откуда:
A1 0.268
A2 2.858
B1 0.572
B2 0.451
Точное решение уравнений состояния:
uc (t) |
0.269e |
2.857t cos(0.832t |
2.857) |
4.129 |
iL (t) |
0.572e |
2.857t cos(0.832t |
0.451) |
1.743 |
u'c (0 ) |
4uc (0 ) 2iL (0 ) 20 0 |
|||
i'L (0 |
) uc (0 ) 1.714iL (0 ) |
1.142 |
1.141 |
|
1.3 Численное решение уравнений состояний
Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:
uc [(n |
1)h] |
uc (nh) h |
duc |
|
|
uc (nh) |
h( 4uc (nh) 2iL (nh) |
20) |
|
dt |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
nh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iL [(n |
1)h] |
iL (nh) h |
diL |
|
|
ic (nh) |
h(uc (nh) 1.714iL (nh) |
1.142) |
|
|
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
t |
nh |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выберем шаг расчѐта h=0.1, количество шагов n=100. Результаты расчѐта приведены в таблице 1. А графики точного и численного(пунктирная линия) расчѐта приведены на рисунке 5 и 6.
|
|
Таблица 1 |
|
n |
uc(t) |
iL(t) |
|
0 |
3.871 |
2.258 |
|
1 |
3.871 |
2.144 |
|
2 |
3.894 |
2.049 |
|
3 |
3.926 |
1.973 |
|
4 |
3.961 |
1.913 |
|
5 |
3.994 |
1.867 |
|
6 |
4.023 |
1.833 |
|
7 |
4.047 |
1.807 |
|
8 |
4.067 |
1.787 |
|
9 |
4.083 |
1.774 |
|
10 |
4.095 |
1.764 |
|
11 |
4.104 |
1.757 |
|
12 |
4.111 |
1.752 |
|
13 |
4.116 |
1.748 |
|
14 |
4.12 |
1.746 |
|
15 |
4.123 |
1.745 |
|
16 |
4.125 |
1.744 |
|
17 |
4.126 |
1.743 |
|
18 |
4.127 |
1.743 |
|
19 |
4.128 |
1.743 |
|
20 |
4.128 |
1.742 |
|
21 |
4.128 |
1.742 |
|
|
8 |
|
|
22 |
4.129 |
1.742 |
23 |
4.129 |
1.742 |
24 |
4.129 |
1.742 |
25 |
4.129 |
1.742 |
26 |
4.129 |
1.742 |
27 |
4.129 |
1.742 |
28 |
4.129 |
1.742 |
29 |
4.129 |
1.743 |
30 |
4.129 |
1.743 |
31 |
4.129 |
1.743 |
32 |
4.129 |
1.743 |
33 |
4.129 |
1.743 |
34 |
4.129 |
1.743 |
35 |
4.129 |
1.743 |
36 |
4.129 |
1.743 |
37 |
4.129 |
1.743 |
38 |
4.129 |
1.743 |
39 |
4.129 |
1.743 |
40 |
4.129 |
1.743 |
41 |
4.129 |
1.743 |
42 |
4.129 |
1.743 |
43 |
4.129 |
1.743 |
44 |
4.129 |
1.743 |
45 |
4.129 |
1.743 |
46 |
4.129 |
1.743 |
47 |
4.129 |
1.743 |
48 |
4.129 |
1.743 |
49 |
4.129 |
1.743 |
50 |
4.129 |
1.743 |
51 |
4.129 |
1.743 |
52 |
4.129 |
1.743 |
53 |
4.129 |
1.743 |
54 |
4.129 |
1.743 |
55 |
4.129 |
1.743 |
56 |
4.129 |
1.743 |
57 |
4.129 |
1.743 |
58 |
4.129 |
1.743 |
59 |
4.129 |
1.743 |
60 |
4.129 |
1.743 |
61 |
4.129 |
1.743 |
62 |
4.129 |
1.743 |
63 |
4.129 |
1.743 |
64 |
4.129 |
1.743 |
65 |
4.129 |
1.743 |
66 |
4.129 |
1.743 |
67 |
4.129 |
1.743 |
68 |
4.129 |
1.743 |
69 |
4.129 |
1.743 |
70 |
4.129 |
1.743 |
71 |
4.129 |
1.743 |
72 |
4.129 |
1.743 |
|
9 |
|
73 |
4.129 |
1.743 |
74 |
4.129 |
1.743 |
75 |
4.129 |
1.743 |
76 |
4.129 |
1.743 |
77 |
4.129 |
1.743 |
78 |
4.129 |
1.743 |
79 |
4.129 |
1.743 |
80 |
4.129 |
1.743 |
81 |
4.129 |
1.743 |
82 |
4.129 |
1.743 |
83 |
4.129 |
1.743 |
84 |
4.129 |
1.743 |
85 |
4.129 |
1.743 |
86 |
4.129 |
1.743 |
87 |
4.129 |
1.743 |
88 |
4.129 |
1.743 |
89 |
4.129 |
1.743 |
90 |
4.129 |
1.743 |
91 |
4.129 |
1.743 |
92 |
4.129 |
1.743 |
93 |
4.129 |
1.743 |
94 |
4.129 |
1.743 |
95 |
4.129 |
1.743 |
96 |
4.129 |
1.743 |
97 |
4.129 |
1.743 |
98 |
4.129 |
1.743 |
99 |
4.129 |
1.743 |
100 |
4.129 |
1.743 |
10
4.2 |
|
|
|
|
|
|
4.1 |
|
|
|
|
|
|
uck |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
UCk |
|
|
|
|
|
|
3.9 |
|
|
|
|
|
|
3.8 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
|
|
|
tk |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
2.4 |
|
|
|
|
|
|
2.2 |
|
|
|
|
|
|
iLk
2
ILk
1.8
1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
||
tk
Рис. 6.
Как видно из графиков точное и численное решения практически совпадает.
11