Занятие 10. Быстрое преобразование фурье. Фильтрация шумящих данных
Цель работы: изучение алгоритма быстрого преобразования Фурье и способа фильтрации шумящих экспериментальных данных с помощью отсечения высших частот Фурье-разложения.
10.1. Алгоритм быстрого преобразования Фурье
Фурье-преобразование устанавливает связь сигнала с его представлением в частотной области. Преобразование Фурье является мощным инструментом анализа в математике, теоретической физике, прикладной механике, акустике, оптике, приборостроении, телекоммуникациях и т. д.
В численном анализе экспериментальных данных используется дискретное преобразование Фурье. Если измеренный сигнал представлен в виде одномерного массива значений xi (0 i N – 1), то компоненты дискретного преобразования Фурье определяются выражением
.
При этом предполагается, что точки сигнала измерялись с одинаковым шагом t по времени (длине волны, температуре и т. д.). Наоборот, зная Фурье-трансформанты Xk, можно восстановить сигнал по формуле обратного дискретного преобразования Фурье:
.
Важно отметить, что количество точек дискретного сигнала и его Фурье-образа равны. Так как преобразование Фурье является комплексным, оно содержит две информационные составляющие: амплитуду (Xk) и фазу (показатель экспоненты). В эксперименте наблюдаются, как правило, вещественные сигналы (xi – real). Для них дискретное преобразование Фурье является симметричным со свойствами
,
.
В
следствие
этого достаточно рассчитать только
половину точек Фурье-трансформанты.
Вторая половина будет характеризоваться
такой же амплитудой, но инвертированной
фазой, и поэтому называется областью
“отрицательных частот” (рис. 10.1).
На рисунке представлены следующие элементы Фурье-образа: 1 – постоянная составляющая; 2 – положительные частоты; 3 – частота Найквиста; 4 – “отрицательные” частоты. Фурье-преобразование, содержащее положительные и отрицательные частоты, называется двусторонним.
Частота
Найквиста
– это максимальная частота, которая
может определяться экспериментальными
данными. Она задается интервалом t
между измерениями и равна
.
Интервал между составляющими Фурье-образа
в частотной области (разрешение по
частоте) –
.
В современной вычислительной практике обычно используется алгоритм Быстрого преобразования Фурье (БПФ), или Fast Fourier Transform (FFT), который значительно увеличивает скорость вычислений. Этот алгоритм реализуется, если количество точек во входном массиве составляет целую степень 2.
Библиотека анализа сигналов в LabVIEW предыдущих версий (включая 6i и 7.0) включала два виртуальных прибора для вычисления быстрого преобразования Фурье: вещественное БПФ (Real FFT.vi) и комплексное БПФ (Complex FFT.vi). При этом Real FFT.vi предназначалось для БПФ исходного массива вещественных величин, а Complex FFT.vi – для БПФ исходного массива комплексных величин. Но в результате преобразования как в первом, так и во втором получался массив комплексных величин. В LabVIEW 7.1 эти два прибора объединены в один, полиморфный (адаптирующийся к типу входных данных) прибор FFT.vi. Фактически, полиморфный subVI есть набор частных subVI с идентичными терминалами.