- •Основы теории моделирования геометрических образов на плоскости
- •Методические рекомендации по изучению курса «Начертательная геометрия»
- •Обозначения, принятые в пособии
- •Обозначение отношений между геометрическими образами
- •Обозначения теоретико-множественные
- •1. Метод проекций
- •1.1. Основные понятия метода проецирования
- •1.2. Виды проецирования
- •1.3. Основные свойства проекций
- •2. ПостроенИе ортогонального чертежа
- •2.1. Построение чертежа по схеме Монжа
- •2.2. Построение чертежей в декартовой системе координатных плоскостей проекций
- •2.3. Построение безосного чертежа
- •3. Комплексный чертёж точки
- •3.1. Построение комплексного чертежа точки
- •Алгоритм построения комплексного чертежа точки по координатам
- •3.2. Положение точки относительно плоскостей проекций
- •3.3. Взаимное положение точек в пространстве
- •4. Комплексный чертёж прямой линии
- •4.1. Построение комплексного чертежа прямой линии
- •4.2. Положение прямой линии относительно плоскостей проекций
- •Прямая линия частного положения – прямая, параллельная либо перпендикулярная одной из плоскостей проекций.
- •4.3. Определение натуральной величины отрезка прямой
- •4.4. Взаимное положение прямых линий
- •4.5. Взаимное положение точки и прямой линии
- •Геометрические построения в задаче 2 а
- •5. Комплексный чертёж плоскости
- •5.1. Задание плоскости на комплексном чертеже
- •5.2. Положение плоскости относительно плоскостей проекций
- •5.3. Взаимное положение прямой линии и плоскости
- •Алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости общего положения
- •5.4. Взаимное положение двух плоскостей
- •Алгоритм построения линии пересечения плоскостей общего положения способом 1
- •Алгоритм построения линии пересечения плоскостей
- •Геометрические построения в задаче 4
- •Геометрические построения в задаче 5
- •Геометрические построения в задаче 6
- •Геометрические построения в задаче 7 а
- •6. Методы преобразования комплексного чертежа
- •6.1. Метод замены плоскостей проекций
- •Геометрические построения в примере
- •6.2. Метод вращения
- •Геометрические построения в примере
- •Геометрические построения в задаче 8 в
- •Геометрические построения в задаче 10
- •7. Комплексный чертЁж поверхностей
- •7.1. Определение поверхности
- •7.2. Задание поверхности на комплексном чертеже
- •7.3. Классификация поверхностей
- •7.4. Точки, принадлежащие поверхности
- •7.5. Сечение поверхностей плоскостями
- •7.6. Пересечение поверхности прямой линией
- •Геометрические построения в задаче 11 б
- •Заключение
- •Основы теории моделирования геометрических образов на плоскости
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
2.3. Построение безосного чертежа
В технических чертежах координатные оси плоскостей не чертят, их подразумевают. Такие чертежи называют безосными. Плоскости проекций, условно расположенные относительно оригинала, можно в воображении смещать параллельно самим себе (рис. 2.6).
По безосному чертежу можно судить только об относительном положении оригиналов, так как он не содержит числовых значений координат точек оригинала.
|
Рис. 2.6. Безосный чертеж |
Построения осуществляются с помощью постоянной прямой чертежа k – биссектрисы прямого угла, образованного горизонтальной линией связи, которую проводят из горизонтальной проекции точки, заданной тремя проекциями, и вертикальной линии связи, опущенной из профильной проекции той же точки.
Выводы по теме
1. Чертежи, полученные с помощью параллельного (ортогонального) проецирования основаны на методе Г. Монжа, где проецирование осуществляется на две взаимно-перпендикулярные плоскости П1П2. На практике, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, используют третью профильную плоскость проекций П3, расположенную перпендикулярно к П1 и П2.
2. Совокупность двух и более взаимосвязанных ортогональных проекций оригинала, расположенных на одной плоскости чертежа, называется комплексным чертежом.
3. Обратимый комплексный чертеж должен содержать не менее двух проекций геометрической фигуры.
5. Для того чтобы чертеж геометрической фигуры был обратим, он должен содержать столько проекций, чтобы каждая ее точка имела не менее двух проекций.
6. Чтобы определить положение геометрического образа в трехмерном пространстве, применяют декартовую систему координат.
Ключевые слова
Эпюр
Комплексный чертеж
Система координатных плоскостей проекций
Оси координат
Обратимость чертежа
Безосный чертеж
Постоянная прямая чертежа k
Вопросы для самопроверки
1. Какой вид проецирования используется при построении чертежей по схеме Монжа?
2. Какие плоскости проекций участвуют в проецировании по схеме Монжа?
3. Что такое эпюр Монжа?
4. Опишите механизм образования эпюра Монжа.
5. Что такое комплексный чертеж?
6. Что необходимо для определения положения геометрического образа в пространстве?
7. Как образуется комплексный чертеж в системе трёх плоскостей проекций П1П2П3?
8. Что такое безосный чертеж?
Рекомендуемый библиографический список [2–11].
3. Комплексный чертёж точки
Геометрические образы делятся: на линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).
Рассмотрим способы их образования, графического задания и возможные варианты положения по отношению к плоскостям проекций.
3.1. Построение комплексного чертежа точки
Точка11 – одно из основных понятий геометрии. В современной математике точками называют элементы различной природы, из которых состоят пространства, например, в евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n чисел.
В начертательной геометрии положение точки в пространстве можно определить её координатами. Замечательным признаком является то, что координата, характеризующая удаление точки от плоскости проекций, одноимённа с осью, которая не присутствует при образовании этой плоскости проекций. Так, удаление точки от П2 измеряется координатой y, а сама фронтальная плоскость проекций П2 образуется пересечением осей OХ и OZ.
Таким образом, каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A1(XA; YA); фронтальная – A2(XA; ZA); профильная – A3(YA; ZA).
Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. Так, в системе плоскостей проекций П1П2 общая для фронтальной и горизонтальной проекций координата x транслируется вертикальной линией связи А2А1 , перпендикулярной оси OХ.
По двум данным проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически. Графически профильную проекцию строят, транслируя параметр Z горизонтальной линией связи, проведённой из фронтальной проекции, а параметр Y переносят с горизонтальной проекции, используя постоянную прямую чертежа k – биссектрису угла расщеплённой оси: Y1ОY3, на которой горизонтальная линия связи, проведённая из горизонтальной проекции перпендикулярно OY1, преломляется под прямым углом. При этом у начала координат формируется квадрат со стороной, равной координате Y оригинала, что обеспечивает передачу координаты Y между горизонтальной и профильной проекциями. В табл. 3.1 и 3.2 представлены общие алгоритмы построения точки А по координатам в пространственной модели системы трёх плоскостей проекций П1П2П3 и на комплексном чертеже.
Таблица 3.1
Алгоритм построения наглядного изображения точки по координатам
|
|
Словесная форма |
Графическая форма |
1. Отложить на осях X, Y, Ζ соответствующие координаты точки А. Получим точки Ax, Ay, Az |
|
2. Горизонтальная проекция А1 находится на пересечении линий связи из точек Ax и Ay, проведенных параллельно осям X и Y |
|
3. Фронтальная проекция А2 находится на пересечении линий связи из точек Ax и Az, проведенных параллельно осям X и Ζ |
|
4. Профильная проекция А3 находится на пересечении линий связи из точек Ay и Az, проведенных параллельно осям Y и Ζ
|
|
5. Точка А находится на пересечении линий связи, проведенных из точек А1, А2 и А3 |
|
Таблица 3.2