Тема 7.1. Ряди фур’є

Лекція 19. Означення лінійного евклідового простору. Приклад: простір з означеною операцією скалярного добутку функцій. Означення евклідового нормованого простору. Норма функції в . Ортонормовані системи елементів в евклідовому нормованому просторі.

СРС. Лінійно-незалежні системи, їх зв’язок з ортонормованими.

Література. [ 1 ], 16.1

Лекція 20. Означення ряду Фур’є елемента простору за ортонормованою системою. Приклад ряду Фур’є в .

СРС. Найкраще середньо-квадратичне наближення функцій многочленами.

Література. [ 1 ], 16.1

Лекція 21. Приклади ортонормованих систем функцій (тригонометричні системи, системи комплекснозначних функцій). Знаходження норми цих функцій. Приклади рядів Фур’є кусково-неперервних функцій на (тригонометричний ряд).

СРС. Комплексна форма ряду Фур’є.

Література. [ 7 ], 19.1

Лекція 22. Tеорема про зв’язок між дійсною і комплексною формами ряду Фур’є. Приклади рядів Фур’є кусково-неперервних функцій (на і на ). Частинні випадки. Означення многочлена степеня за ортонормованою системою функцій.

СРС. Приклади многочленів за ортонормованою системою функцій.

Література. [ 4 ], 15.6

Лекція 23. Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя. Замкнені системи функцій.

СРС. Рівність Парсеваля.

Література. [ 1 ] 16.1

Лекція 24. Збіжність у середньому квадратичному в . Повна система функцій.

СРС. Лема Рімана.

Література. [ 1 ], 16.1

Лекція 25. Інтегральне представлення часткової суми ряду Фур’є. Збіжність ряду Фур’є в точці. Ознаки Діні і Ліпшіца, наслідки з них. Рівномірна збіжність тригонометричного ряду Фур’є.

СРС. Диференціювання та інтегрування ряду Фур’є.

Література. [ 7 ], 19.2

Тема 7.1. Інтеграл фур’є

Лекція 26.Формальний перехід від ряду Фур’є до інтегралу Фур’є. Різні форми інтегралу Фур’є.

СРС. Синус- та косинус-перетворення Фур’є.

Література. [ 1 ], 16.4

Лекція 27. Інтегральна формула Фур’є, інтеграл Фур’є. Збіжність інтеграла Фур’є в точці, ознака Діні.

СРС. Збіжність інтеграла Фур’є в точці, ознака Ліпшіца.

Література. [ 4 ], 16.3

Розділ 8. функції багатьох змінних

Тема 8.1. Дійсні функції багатьох змінних

Лекція 28. Простір як лінійний, метричний, нормований, евклідовий. Кулі в . Повнота і сепарабельність .

СРС. Паралелепіпеди та куби в метричному просторі.

Література. [ 1 ], 10.1

Лекція 29. Замкнені і відкриті множини в , їх властивості. Теорема Кантора про замкнені вкладені кулі. Означення покриття множини, компактної множини. Приклад (брус – компактна множина).

СРС. Обмеженість і замкненість компактної множини.

Література. [ 1 ], 10.1

Лекція 30. Критерій компактності множини в (теорема Гейне-Бореля). Узагальнена теорема Больцано-Вейерштрасса. Означення області в .

СРС. Означення скалярної та векторної функції в .

Література. [ 1 ], 10.1

Лекція 31. Границя функції: по множині, по кривій, подвійна границя, повторні границі.

СРС. Приклади поведінки функції в точці, де не існує подвійна границя.

Література. [ 1 ], 10.2

Лекція 32. Непепервні функції в точці та на множині. Неперервні функції на компактах і їх властивості.

СРС. Приклади функцій, які мають розрив у точці.

Література. [ 4 ], 7.3

Лекція 33. Похідна за напрямком. Частинні похідні, правила їх знаходження. Градієнт функції в точці.

СРС. Властивості градіента. Приклади.

Література. [ 4 ], 7.4

Лекція 34. Диференційовність функції: означення, необхідна умова, критерій диференційовності.

СРС. Достатня ознака диференційовності.

Література. [ 4 ], 7.5

Лекція 35. Повна похідна, похідна складеної функції. Повний диференціал, його властивості. Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

СРС. Властивості похідних та диференціалів вищих порядків.

Література. [ 4 ], 7.8

Лекція 36. Дотична площина і нормаль до поверхні. Формула Тейлора функції багатьох змінних із залишковим членом у формі Лягранжа.

СРС. Формула Тейлора функції багатьох змінних із залишковим членом у формі Пеано.

Література. [ 3 ], 39

Лекція 37. Означення абсолютного і локального екстремума функції багатьох змінних.Необхідні умови існування локального екстремума. Достатні умови.

СРС. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.

Література. [ 3 ], 40