Тема 6.1. Числові ряди

Лекція 1. Означення числового ряду і його збіжності. Приклади. Критерій збіжності. Властивості збіжних рядів. Необхідна ознака збіжності. Гармонійний ряд.

СРС. Критерій збіжності числового ряду з невід’ємними членами.

Література. [ 4 ], 11.1-11.3.

Лекція 2. Ряд і невластивий інтеграл (ознака Коші-Маклорена). Узагальнений гармонійний ряд. Ряди з невід’ємними членами: достатня ознака збіжності.

Література. [ 1 ], 7.2

Лекція 3. Ознаки конгруентності (порівняння), ознака Даламбера і радикальна ознака Коші.

СРС. Порівняння ознак Даламбера і радикальної Коші.

Література. [ 3 ], 34.6

Лекція 4. Логарифмічна ознака і ознака Раабе.

СРС. Стала Ейлера.

Література. [ 1 ], 7.2

Лекція 5. Доведення теореми про неможливість побудови універсальної ознаки збіжності для числового ряду. Знакозмінні ряди: теорема Ляйбніца і ряд Ляйбніца.

Література. [ 1 ], 7.3

Лекція 6. Ряди з довільними за знаком членами: теорема про абсолютну збіжність. Умовна збіжність рядів: ознаки Діріхлє і Абеля.

СРС. Тотожність Абеля.

Література. [ 3 ], 34.13

Лекція 7. Властивості абсолютно збіжних рядів: групування і переставлення членів ряду (теорема Коші). Теорема Рімана про умовно збіжні ряди.

СРС.Добуток рядів за Коші.

Література. [ 1 ], 7.4

Лекція 8. Добуток рядів за Коші.Теорема Коші про добуток абсолютно збіжних рядів.

СРС. Теореми Абеля і Мертенса.

Література. [ 1 ], 7.4

Лекція 9. Нескінченні добутки. Умови збіжності. Зв’язок з рядами.

СРС. Представлення у вигляді нескінченного добутку.

Література. [ 3 ], 35

Тема 6.2. Функціональні ряди

Лекція 10. Збіжність послідовності функцій: поточкова і рівномірна.

СРС. Приклади збіжних послідовностей, які не є рівномірно збіжними.

Література. [ 1 ], 8.1

Лекція 11. Властивості рівномірно збіжних послідовностей. Означення функціонального ряду, його поточкової і рівномірної збіжності.

СРС. Приклади збіжних рядів, які не є рівномірно збіжними.

Література. [ 1 ], 8.2

Лекція 12. Необхідна умова рівномірної збіжності ряду, критерій Коші. Ознаки рівномірної збіжності Вейерштрасса, Харді-Діріхлє.

СРС. Ознака рівномірної збіжності Харді-Абеля.

Література. [ 3 ], 36.4

Лекція 13. Властивості рівномірно збіжних рядів: неперервність суми. Приклади. Почленне інтегрування рівномірно збіжного ряду.

СРС. Почленне диференціювання рівномірно збіжного ряду.

Література. [ 4 ], 11.8

Лекція 14. Степеневі ряди: означення, область збіжності. Теорема Абеля про абсолютну збіжність. Радіус збіжності.

СРС. Теорема Коші-Адамара.

Література. [ 3 ], 37.2

Лекція 15. Рівномірна збіжність степеневого ряду: друга теорема Абеля про неперервність суми, теорема Арцеля.

СРС. Інтегрування та диференціювання степеневого ряду.

Література. [ 1 ], 8.4

Лекція 16. Ряди Тейлора і Маклорена. Достатня умова представлення функції рядом Тейлора.

СРС. Ряд Маклорена функцій .

Література. [ 3 ], 37.6

Лекція 17. Біноміальний ряд. Теорема про збіжність біноміального ряду. Застосування степеневих рядів.

СРС. Функції Бесселя.

Література. [ 3 ], 37.6

Лекція 18. Степеневі ряди з комплексними членами. Показникова функція в комплексній площині. Формула Ейлера.

СРС. Гіперболічні функції комплексної змінної.

Література. [ 4 ], 11.13

Розділ 7. ряди та інтеграл фур’є