Лекция 6.

Столкновительные процессы.

Упругие столкновения и перезарядка.

В неравновесной плазме упругие столкновения определяют скорости многих релаксационных процессов. Наибольший интерес для нас представляют столкновения электронов с тяжелыми частицами. Вероятность рассеяния электрона на некоторый угол  определяется деталями потенциала взаимо­действия рассеивающей частицы с налетающим электроном. Она пропорцио­нальна дифференциальному сечению рассеяния d() = (d/d) d, причем угловая зависимость сечения рассеяния d/d может быть довольно слож­ной. Полное сечение рассеяния для столкновения с относительной скоростью  определяется как _с()  (d/d) d. Если учесть распределение электронов по скоростям, то можно ввести усредненное сечение распределения _с = ²_с()f()d. Частота упругих столкновений определяется выражением _с() = _с()n, где n – плотность частиц, с которыми сталкивается электрон.

Поскольку величина импульса (а, следовательно, и энергия), передавае­мая электроном тяжелой частице при столкновении, зависит от угла рассея­ния, то для описания результата столкновения вводят так называемое транс­портное сечение

, (6.1) что позволяет ввести эффективную частоту столкновений

, (6.2) которая определяет скорость потери электроном продольного импульса

. (6.3)

Величины сечений столкновений и транспортных сечений для электро­нов в инертных газах показаны на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Вероятности столкновений (пунктир) и вероятности, соответствующие транс­портным сечениям (сплошные кривые), для электронов в инертных газах He, Ne и Ar. Правые шкалы на всех рисунках указывают величины соответствующих сечений

Причиной снижения сечений столкновений почти до нуля при малых энергиях электронов обусловлена эффектом Рамзауэра, наблюдающегося для атомов с заполненной внешней оболочкой (Ar, Kr, Xe) при энергиях нале­тающего электрона порядка нескольких электрон-вольт, когда его де-брой­левская длина волны становится сравнима с размером атома.

Скорость потери частицей энергии при упругом столкновении определяется выражением

, (6.4) где при преобразовании учтено, что ||  |^|. Из выражения (6.4) видно, что поступательная релаксация частиц равной массы происходит за одно эффективное столкновение, тогда как электроны, имеющие малую массу, могут сохранять энергию доdльно долго. Это является причиной наблюдающегося отрыва электронной температуры от температуры атомов и ионов.

Таким же образом мы можеи проанализировать рассеяние ионов на неполярных атомах и молекулах. Сечение такого взаимодействия хорошо описывается поляризационным сечением. Поскольку основной вклад дают столкновения с отклонением на большие углы, то можно показать, что

, (6.5) где _ia – энергия относительного движения иона и атома на большом расстоянии. Если нейтральная частица имеет постоянный дипольный момент d₀, то его также следует принимать во внимание, особенно при низких энергиях, когда важную роль играют столкновения с большими прицельными параметрами.

Весьма часто значительную роль в процессах переноса играет перезарядка ионов на атомах и молекулах газа

A + B⁺  A⁺ + B, (6.6) в результате которой происходит обмен импульсами между нейтральными атомами и ионами. Если ионы движутся в собственном газе, то для однозарядных его ионов одним из эффективных процессов является резонансная перезарядка

A_k + A⁺  A⁺ + A_k. (6.7) Сечение этого процеса весьма велико и может быть оценено (с точностью ~ 50%) по формуле

, (6.8) где ₀ = 2,1910⁸ см/с – скорость электрона на первой боровской орбите, а I – потенциал ионизации атома (молекулы). При перзарядке быстрый ион «мгновенно» исчезает и появляется быстрый атом. Сечение перезарядки превышает сечение упругого рассеяния во всем диапазоне энергий. Понятно, что “транспортные свойства” электронов и ионов определяют также и проводимость низкотемпературной плазмы.

Ионизация электронным ударом и ударная рекомбинация

Процесс ионизации атома, находящегося в общем случае в возбужденнном состоянии k, при столкновении с электроном символически может быть записан

A_k + e  A⁺ + e +e. (6.9) Этот вид ионизации называется ударной ионизацией. Уравнение, описывающее изменение плотности электронов, имеет вид

, (6.10) кде k_i и k_r – определяемые сечениями и скоростями частиц константы скорости ионизации и рекомбинации. При столкновении атома с электроном, имеющим энергию , после ионизации появляются два электрона с энергиями ^, ^, значения которых связаны законом сохранения энергии

 - _k = ^ + ^,

где _k – энергия связи этомного электрона. Процессу, в котором появляются электроны с указанными значениями энергии, соответствует парциальное сечение ионизации _k(, ^, ^).

Полное сечение ионизации можно получить, интегрируя по возможным состояниям электронов после ионизации:

. (6.11)

Окончательно вероятность ионизации атома, находящегося в k-м возбужденном состоянии, с учетом функции распределения электронов можно записать как

. (6.12) Процесс, обратный ударной ионизации, будем называть ударной рекомбинацией. Для равновесной плазмы, в соответствии с принципом детального равновесия, скорость рекомбинации находится из соотношения

. (6.13)

Ионизацию из основного состояния (и обратный процесс рекомбинацию в основное состояние) обычно называют прямыми процессами:

; (6.14)

. (6.15)

Поскольку часть атомов находится в возбужденном состоянии, существуют и ступенчатые процессы, приводящие после блуждания электрона по возбужденным состояниям к ионизации атома. Расчеты ступенчатых процессов более сложны, и мы обсудим их позже.

Рассмотрим ионизацию атома водорода электронным ударом.

Н + е  Н⁺ +е +е.

Прежде всего следует определить сечение процесса. Для этого рассмотрим столкновение двух электронов, один из которых первоначально покоился (связанный электрон). Воспользуемся приближением далеких пролетов (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Приближение далеких пролетов при вычислении ионизации электронным ударом

Вычислим энергию , которую приобретет покоящийся электрон после столкновения. Обозначая через w_p ускорение атомного электрона в направлении, перпендикулярном к скорости налетающего электрона, а через v_p его скорость в том же направлении, имеем

,

,

, где  – прицельное расстояние, v – продольная скорость налетающего электрона, а W = mv²/2 – его энергия. Из выписанных выше уравнений находим

,

что дает дифференциального сечения рассеяния следующее соотношение

. (6.16) Атом будет ионизован, если энергия , передаваемая атомному электрону, превысит потенциал ионизации I, I  . С другой стороны, ясно, что  не может быть больше, чем энегия налетающего электрона,   W. Интегрируя дифференциальное сечение ионизации d в пределах от I до W, найдем полное сечение ионизации _i,

. (6.17)

Эта формула называется формулой Томсона. Максимальное сечение достигается при W  2I и приближенно равно _max  e⁴/4I²  10^-16 см². Полученная формула довольно точно отражает характер _i зависимости от энергии налетающего электрона, в частности, из нее следует, что при больших энергиях _i  W^-1. Квантовая теория предсказывает более медленное убывание сечения ионизации, _i  ln(W)/W при W >> I, и лучше согласуется с экспериментом.

Величина n_a_iv_e, усредненная по распределению электронов, дает число ионов, которое производит один электрон в единицу времени. Скорость роста числа электронов в единице объема описывается уравнением

. (6.18) Если электронов становится много, начинает играть роль обратный процесс ударной рекомбинации, который состоит в том, что года два электрона сталкиваются с ионом, один из них садится на уровень дискретного спектра, а второй улетает, унося выделившуюся энергию:

Н⁺ + е + е  Н + е.

Найдем слагаемое в уравнении кинетики ионизации, которое отвечает за этот процесс. Число столкновений электронов в единице объема равно , где _* – соответствующее сечение. Однако к рекомбинации приводят только столкновения вблизи иона в области где потенциальная энергия взаимодействия с ионом порядка кинетической энергии электронов. Число таких столкновений в единице объеа в n_iV_* раз меньше полного числа столкновений (V_* - объем рекомбинаци вблизи иона). В результате мы приходим к выводу, что количество актов рекомбинации в единице объема будет равно , где - константа скорости рекомбинации, зависящая от температуры электронов. Таким образом,

. (6.19) Вместо того чтобы вычилять , исходя из динами столкновения, как это было сделано выше для сечения ионизации _i, мы можем оценить его с помощью формулы Саха. В полном термодинамическом равновесии плотность электронов не меняется со временем, n_e = 0, и из уравнения (6.19) следует, что

. (6.20) С другой стороны, мы знаем, что в термодинамическом равновесии плотность электронов задается уравнением Саха (4.9). Из формул (6.20) и (4.9) следует, что константа скорости рекомбинации  связана с константой равновесия К(Т) и сечением ионизации _i:

 = _i_e/K(T). (6.21)

Существует и другой канал рекомбинации – фоторекомбинация. Он состоит в том, что электрон при столкновении с ионом переходит в связанное состояние, а выделившаяся энергия уносится фотоном:

.

Число актов рекомбинации в единице объема можно найти, если разделить мощность рекомбинационного излучения из плазмы на энергию ионизации I. Скорость фоторекомбинации определяет следующее выражение:

, где (для водорода)

. (6.22)

Существует и обратный к фоторекомбинации процесс – фотоионизация, состоящий в том, что фотон налетает на атом и ионизует его: . Скорость этого процесса пропорциональна произведению плотности фотонов и атомов,

,

где плотность фотонов мы включили в коэффициент . В результате с учетом всех процессов уравнение кинетики ионизации принимает вид

. (6.23)

В термодинамическом равновесии число квантов в единице объема есть функция температуры Т. При этом можно установить связь между  и , пользуясь принципом детального равновесия, который требует обращения в нулю попарно суммы первого и второго, а также третьего и четвертого слагаемых,

. (6.24)

Обычно в лабораторных условиях излучение не заперто и плотность квантов много меньше термодинамически равновесной плотности фотонов, что делает скорость фоторекомбинации пренебрежимо малой,  << n_e_i_e. В не очень плотной плазме можно пренебречь также и тройной рекомбинацией по сравнению с фоторекомбинацией. Сравнение второго и четвертого членов в уравнении (6.23) дает условие возможности такого пренебрежения:

. (6.25) В условиях, когда выполняется неравенство (6.25), равновесная концентрация электронов и ионов определяется формулой Эльверта

. (6.26) Это так называемое корональное равновесие, получившее свое название по той причине, что оно осуществляется в солнечной короне. Степень ионизации в корональном равновесии не зависит от плотности плазмы.

Перейдем теперь к оценке скорости ударной рекомбинации. Процесс рекомбинации будет завершен, если при сближении реагирующих частиц на расстояние  , избыточная энергия будет унесена третьей частицей. При кулоновском взаимодействии электрона и иона  ~ e²/T_e. Вероятность появления в сфере радиуса  третьей частицы ~ n³. Умножив частоту столкновений электрона с ионом на плотность электронов, играющих у нас роль третьей частицы, на вероятность их появления в сфере взаимодействия и на коэффициент передачи энергии , в нашем случае равный единице, получим _с  n_i_c_e;

(6.27) Приняв для оценок

 ~ 1, , , получим

. (6.28) Следовательно коэффициент ударной рекомбинации можно оценить величиной

. (6.29)

Кинетическое уравнение для распада плазмы за счет ударной ионизации имеет вид

. (6.30)

Из (6.29) следует, что коэффициент ударной рекомбинации уменьшается с ростом температуры по степенному закону Т ^-9/2.