Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интеграл типа , где R обозначает рациональную функцию своих аргументов и . Интеграл данного типа сводится к интегралу от рациональной функции с помощью так называемой универсальной постановки .

Действительно, и = .

Тогда, подставляя в данный интеграл вместо , и полученные выражения, будем иметь под знаком интеграла рациональную функцию.

Пример13. Вычислить интеграл .

Решение. Подстановка дает:

= = .

Универсальная подстановка нередко приводит к сложным вычислениям. Поэтому в указанных ниже случаях предпочтительней частные подстановки, также рационализирующие интеграл.

если , то применима подстановка ;

если , то применима подстановка ;

если , то применима подстановка .

Пример14. Вычислить интеграл .

Решение. Положим и найдем:

поэтому:

= = = .

Рассмотрим интеграл вида , где m и n-целые числа. Возможны следующие случаи:

1. Одно из чисел m или n – нечетное, например , тогда полагая , получим:

= =

2. Оба числа m и n – четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:

.

Пример15. Вычислить интеграл .

Решение. = = .

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим интеграл следующего вида: ,

где R - рациональная функция, - рациональные числа. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где k - общий знаменатель всех дробных показателей.

Пример16. Вычислить интеграл .

Решение. Положив , получим: = = = .

Контрольные задания

Вычислить неопределенные интегралы.

5.1

5.2 .

5.3 .

5.4 .

5.5 .

5.6 .

5.7 .

5.8 .

5.9 .

5.1 0 .

5.1 1 .

5.12 .

5.13 .

5.14 .

5.15 .

5.16 .

5.17 .

5.18 .

5.19 .

5.20 .

Указания к заданию 6 тема 6. Определенный интеграл

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот промежуток произвольным образом на n частей точками .

В каждом из полученных частичных промежутков , где , выберем произвольную точку . Вычислим значение функции и умножим его на разность , после этого составим сумму , которая называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке .

Пусть , т.е. длина наибольшего частичного промежутка. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения промежутка на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом функции на промежутке и обозначается символом . Таким образом, .

Функция в этом случае называется интегрируемой в промежутке . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла.

Выясним геометрический смысл суммы Римана , когда функция непрерывна и неотрицательна в промежутке , . В этом случае произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма равна сумме площадей прямоугольников с основанием и высотами (рис. 1).

Рис.1

Таким образом, равна площади ступенчатой фигуры, а определенный интеграл равен пределу при , т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и и отрезком оси .