- •Математика: математический анализ
- •Санкт-Петербург
- •Содержание
- •1. Общие положения
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •3. Методические указания к выполнению контрольной работы
- •Контрольная работа № 1 Указания к заданию 1
- •Тема 1. Предел функции
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 2
- •Тема 2. Основы дифференциального исчисления
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 3
- •Тема 3. Исследование функции и построение графика
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 4
- •Тема 4. Функции двух переменных
- •Контрольные задания
- •Контрольная работа № 2 Указания к заданию 5 тема 5. Неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование
- •Замена переменой в неопределенном интеграле
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 6 тема 6. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Геометрические приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •Объем тела вращения
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 7
- •Тема 7. Дифференциальные уравнения
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Однородное уравнение первого порядка
- •Линейное уравнение первого порядка
- •Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 8 тема 8. Ряды Рассмотрим выражение вида
- •Контрольные задания
- •5. Требования к оформлению контрольной работы
- •6. Список литературы
- •Содержание дисциплины
- •Раздел 1. Дифференциальное исчисление Тема 1.1. Введение в анализ функций одной переменной
- •Тема 1.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 1.3. Функции нескольких переменных
- •Раздел 2. Интегральное исчисление. Тема 2.1. Неопределенный интеграл
- •Тема 2.2. Определенный интеграл
- •Тема 2.3. Двойной интеграл
- •Образец оформления титульного листа контрольных работ
- •Математика: математический анализ
- •Санкт-Петербург
Контрольные задания
а) Найти общее решение дифференциального уравнения.
б) Найти решение задачи Коши.
в) Найти общее решение дифференциального уравнения.
7.1 а) ;
б) ;
в) ;
7.2 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.3 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.4 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.5 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.6 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.7 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.8 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.9 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.10 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.11 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.12 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.13 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.14 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.15 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.16 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.17 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.18 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.19 а) ;
б) ; ;
в) ;
7.20 а) ;
б) ; ;
в) ;
Указания к заданию 8 тема 8. Ряды Рассмотрим выражение вида
, (1)
называемое бесконечным рядом, где — члены ряда.
Ряд называется числовым, если членами ряда являются числа, и функциональным, если членами ряда являются функции.
Сумма конечного числа первых n членов называется
n –ой частичной суммой ряда:
Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и ряд называется сходящимся. Если предел не существует, то ряд расходится и суммы не имеет.
Отметим следующие свойства рядов.
1. На сходимости ряда не сказывается отбрасывание конечного числа его членов.
2. Сходимость ряда не нарушится, если все члены умножить на одно и то же ненулевое число.
3. Сумма (разность) сходящихся рядов есть ряд сходящийся.
Необходимый признак сходимости рядов
Если ряд сходится, то предел n-ого члена равен нулю при неограниченном возрастании n, т.е.
. (2)
Условие (2) является необходимым, но не достаточным условием сходимости, поэтому если , то ряд может как сходиться, так и расходиться.
Однако, если , то ряд расходится.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Рассмотрим предел общего члена ряда un:
, поэтому ряд расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда .
Решение. . Необходимый признак не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.
Сформулируем достаточные признаки сходимости некоторых рядов и вернемся к решению примера.
В первую очередь рассмотрим числовые ряды.
Числовые ряды
Знакоположительные ряды
Рассмотрим два ряда с положительными членами:
, (3)
, (4)
называемых знакоположительными.
Для них справедливы следующие признаки сходимости.
Признаки сравнения
Признак 1. Если, начиная с некоторого n, выполняется условие и ряд (4) сходится, то ряд (3) тоже сходится.
Признак 2. Если, начиная с некоторого n, выполняется условие , и ряд (4) расходится, то ряд (3) тоже расходится.
Признак 3. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды (3) и (4) ведут себя одинаково, т.е. сходятся и расходятся одновременно.
При использовании этих признаков нужно сравнивать исследуемый ряд с рядом, сходимость или расходимость которого уже известна.
Для сравнения обычно выбирают один из следующих рядов:
I. — гармонический ряд, он расходится.
II. ( ) — геометрическая прогрессия, при ряд сходится, при 1 расходится.
III. — ряд Дирихле (обобщенный гармонический ряд), при сходится, при 1 расходится.
Пример 3. Вернемся к ряду из примера 2: .
Решение. Это ряд с положительными членами. Сравним исходный ряд с гармоническим рядом . Рассмотрим предел отношения общих членов рядов:
.
Ряд (2) расходится, следовательно, на основании признака 3 исходный ряд также расходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда .
Решение. В качестве сравнения возьмем геометрическую прогрессию , которая сходится, т.к. = 1. Сравним общие члены рядов: . На основании первого признака сравнения исходный ряд сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Рассмотрим расходящийся ряд (ряд Дирихле). Поскольку, начиная с , выполняется условие , то, согласно второму признаку сравнения, исходный ряд расходится.
Признак Даламбера
Если в знакоположительном ряде существует предел , то при q 1 ряд сходится, при q 1 расходится, при q=1 признак Даламбера ответа на вопрос о сходимости ряда не дает и надо использовать другие признаки.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Поскольку , то . (Напомним, что n!= ). Теперь найдем предел отношения :
Так как 0<1, то по признаку Даламбера исходный ряд сходится.
Радикальный признак Коши
Если в знакоположительном ряде существует предел , то при q<1 ряд сходится, при q 1 расходится, при q=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Поскольку общий член ряда содержит n-ую степень, применим радикальный признак Коши.
1, следовательно, ряд сходится.
Интегральный признак Коши
Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Пример 8. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Рассмотрим функцию . При функция положительна, монотонно убывает и непрерывна, т.е. удовлетворяет условию интегрального признака Коши. Рассмотрим интеграл
.
Из расходимости интеграла следует расходимость исходного ряда.
Знакочередующиеся ряды
Ряд (5)
называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.
Составим ряд из абсолютных значений ряда (5):
(6)
Если ряд (6) сходится, то ряд (5) тоже сходится и называется абсолютно сходящимся.
Из расходимости ряда (6) не следует расходимость ряда (5).
Если ряд (6) расходится, а ряд (5) сходится, то он называется сходящимся условно.
Ряд (6) является знакоположительным рядом и вопрос о его сходимости решается с помощью признаков, рассмотренных ранее.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд.
Знакочередующимся называется ряд
, (7)
где для .
Для решения вопроса о сходимости знакочередующегося ряда используют признак сходимости Лейбница.
Признак сходимости Лейбница
Если для знакочередующегося ряда (7) выполнены условия:
1. (начиная с некоторого n),
2. ,
то ряд (7) сходится.
Пример 9. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака сходимости Лейбница: , и , поэтому ряд сходится. Он сходится условно, т.к. ряд, составленный из абсолютных значений, является гармоническим , который расходится.
Пример 10. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений . Применим к нему признак сходимости Даламбера:
1, следовательно, этот ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
Пример 11. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Это знакочередующийся ряд. Составленный из абсолютных значений ряд имеет вид . Сравним члены этого ряда с членами сходящегося ряда Дирихле :
. Согласно первому признаку сравнения, ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
Функциональные ряды
Функциональным называется ряд , членами которого являются зависящие от функции. Множество значений аргумента , при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Частным случаем функционального ряда является степенной ряд:
, (8) где и — вещественные числа.
Для ряда (8) существует такой интервал (называемый интервалом сходимости) с центром в точке , внутри которого ряд (8) сходится абсолютно, а при > ряд расходится. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости R в частном случае может быть равен 0 или . На концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.
Для выяснения вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости достаточно применить к ряду известные признаки сходимости, считая фиксированным и равным .
Пример 12. Найти область сходимости ряда .
Решение. Применим к ряду признак сходимости Даламбера и рассмотрим предел:
.
Если , то исходный ряд сходится абсолютно, т.е. при 2 или на интервале .
Если , то ряд расходится, т.е. при .
Проверим сходимость на концах интервала сходимости.
При получаем числовой ряд:
.
Это знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница неабсолютно (см. пример 9).
При получаем гармонический ряд:
,
который расходится.
Окончательный ответ: ряд сходится при .
Пример 13. Определить область сходимости ряда:
.
Решение. Применим к ряду признак сходимости Даламбера и рассмотрим предел:
.
Исходный ряд сходится абсолютно, если , то есть при . Ряд расходится, если , то есть при .
Рассмотрим поведение ряда на концах интервала сходимости.
При получаем числовой ряд: .
Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака сходимости Лейбница: и . Поэтому ряд сходится (сходится условно, т.к. ряд расходится, а умножение всех членов ряда на постоянное число, отличное от нуля, не меняет его сходимости).
При получаем такой же сходящийся ряд:
.
Окончательный ответ: ряд сходится при .
Пример 14. Определить область сходимости ряда .
Решение. Рассмотрим предел:
.
Неравенство выполняется при всех значениях , поэтому область сходимости ряда .