- •Математика: математический анализ
- •Санкт-Петербург
- •Содержание
- •1. Общие положения
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •3. Методические указания к выполнению контрольной работы
- •Контрольная работа № 1 Указания к заданию 1
- •Тема 1. Предел функции
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 2
- •Тема 2. Основы дифференциального исчисления
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 3
- •Тема 3. Исследование функции и построение графика
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 4
- •Тема 4. Функции двух переменных
- •Контрольные задания
- •Контрольная работа № 2 Указания к заданию 5 тема 5. Неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование
- •Замена переменой в неопределенном интеграле
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 6 тема 6. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Геометрические приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •Объем тела вращения
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 7
- •Тема 7. Дифференциальные уравнения
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Однородное уравнение первого порядка
- •Линейное уравнение первого порядка
- •Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 8 тема 8. Ряды Рассмотрим выражение вида
- •Контрольные задания
- •5. Требования к оформлению контрольной работы
- •6. Список литературы
- •Содержание дисциплины
- •Раздел 1. Дифференциальное исчисление Тема 1.1. Введение в анализ функций одной переменной
- •Тема 1.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 1.3. Функции нескольких переменных
- •Раздел 2. Интегральное исчисление. Тема 2.1. Неопределенный интеграл
- •Тема 2.2. Определенный интеграл
- •Тема 2.3. Двойной интеграл
- •Образец оформления титульного листа контрольных работ
- •Математика: математический анализ
- •Санкт-Петербург
Тема 1.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная и дифференциал. Производная постоянной функции. Производные тригонометрических функций. Производная логарифмической функции. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Вычисление производных показательных и обратных тригонометрических функций. Логарифмическая производная. Производная степенной функции. Таблица простейших элементарных функций. Дифференцирование функции заданной параметрически. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.Признак монотонности. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Выпуклость функции. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построения графика.
Тема 1.3. Функции нескольких переменных
Точечные множествав N-мерном пространстве. Функции нескольких переменных, их непрерывность. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Метод наименьших квадратов. Формула Тейлора. Вогнутые функции. Локально-глобальная теорема. Классические методы оптимизации. Функция спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия
Раздел 2. Интегральное исчисление. Тема 2.1. Неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод подстановки. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Частные тригонометрические подстановки. Вычисление интегралов от четных и нечетных степеней синуса и косинуса. Интегрирование иррациональностей с помощью тригонометрических подстановок.
Тема 2.2. Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла, суммы Дарбу. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Некоторые классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Некоторые приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона (парабол).
Тема 2.3. Двойной интеграл
Двойные интегралы. Определение и условие существования. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Интегрирование по неограниченным областям. Интеграл Эйлера-Пуассона. Некоторые приложения двойных интегралов.
Приложение 2