- •Математика: математический анализ
- •Санкт-Петербург
- •Содержание
- •1. Общие положения
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •3. Методические указания к выполнению контрольной работы
- •Контрольная работа № 1 Указания к заданию 1
- •Тема 1. Предел функции
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 2
- •Тема 2. Основы дифференциального исчисления
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 3
- •Тема 3. Исследование функции и построение графика
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 4
- •Тема 4. Функции двух переменных
- •Контрольные задания
- •Контрольная работа № 2 Указания к заданию 5 тема 5. Неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование
- •Замена переменой в неопределенном интеграле
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 6 тема 6. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Геометрические приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •Объем тела вращения
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 7
- •Тема 7. Дифференциальные уравнения
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Однородное уравнение первого порядка
- •Линейное уравнение первого порядка
- •Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 8 тема 8. Ряды Рассмотрим выражение вида
- •Контрольные задания
- •5. Требования к оформлению контрольной работы
- •6. Список литературы
- •Содержание дисциплины
- •Раздел 1. Дифференциальное исчисление Тема 1.1. Введение в анализ функций одной переменной
- •Тема 1.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 1.3. Функции нескольких переменных
- •Раздел 2. Интегральное исчисление. Тема 2.1. Неопределенный интеграл
- •Тема 2.2. Определенный интеграл
- •Тема 2.3. Двойной интеграл
- •Образец оформления титульного листа контрольных работ
- •Математика: математический анализ
- •Санкт-Петербург
Контрольные задания
Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
Указания к заданию 3
Тема 3. Исследование функции и построение графика
Внутренняя точка интервала называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство ( ). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.
Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.
Если ( ) в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале.
Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:
1. найти область определения функции;
2. найти производную функции;
3. приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;
4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.
Необходимое условие экстремума функции
Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .
Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.
Достаточные условия экстремума функции
Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.
Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки .
График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1)
График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. (рис. 2)
Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции
Если в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале; если же , то в интервале график функции вогнутый.
Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Если ─ абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.
Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.
Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х,у) на кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Прямая является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если:
или .
Прямая является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует или .
Прямая является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы:
или .
При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана.
Найти область определения функции.
Определить четность (нечетность), периодичность
функции.
Найти точки разрыва.
Определить точки пересечения графика с осями
координат.
Найти точки экстремума и вычислить значения
функции в этих точках.
Определить интервалы возрастания и убывания
функции.
Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и
вогнутости.
Определить асимптоты.
Найти предельные значения функции при аргументе,
стремящемся к границам области определения.
В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ, за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв. Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. Поскольку и , то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида. Точка (0,0) является точкой пересечения функции с осями координат.
Вычислим производную: .
Производная обращается в ноль при и .
Построим интервалы монотонности (рис. 3):
Рис. 3
Функция возрастает при и убывает при . Точка ─ точка максимума, а точка ─ точка минимума функции.
Найдем вторую производную:
.
Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в интервале график функции выпуклый, а в интервале ─ вогнутый. Точек перегиба функция не имеет.
Выясним, имеет ли функция наклонные асимптоты. ,
.
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при . Легко проверить, что эта же прямая является наклонной асимптотой при .
Построим график исследуемой функции:
Рис. 4