Законы сохранения момента импульса и энергии

1. Закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси справедлив в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил относительно оси вращения равна нулю. Применять его удобно, когда неизвестна или сложна зависимость от времени моментов внутренние сил; в этом случае исключаются из рассмотрения и силы трения, действующие внутри системы.

2. Если система незамкнута, то общий момент ее импульса может изменяться под действием моментов внешних сил. Но возможны случаи, когда относительно какой-либо оси момент внешних сил равен нулю, тогда момент импульса незамкнутой системы относительно этой оси сохраняется.

3. Условия применимости закона сохранения энергии такие же, как при движении материальной точки. Закон сохранения энергии позволяет исключить из рассмотрения там, где это удобно, внутренние силы замкнутой системы. Следует помнить, что кинетическая энергия в общем случае равна сумме кинетических энергий вращательного и поступательного движений.

Примеры решения задач

Задача 3.6. Деревянный стержень массой  кг и длиной  м может вращаться относительно вертикальной оси Z, проходящей через его центр масс перпендикулярно длине стержня. На расстоянии  м от его оси в стержень “врезается” и застревает в нем тело массой  г, летевшее со скоростью  м/с перпендикулярно стержню. С какой угловой скоростью начнет вращаться стержень? Какая доля механической энергии теряется в этом примере?

Закон сохранения момента импульса системы «пуля–стержень» относительно выбранной оси Z (рис. 3.6):

,

где – момент инерции системы после соударения относительно оси Z.

Найдём угловую скорость:

рад/с,

– кинетическая энергия тела до попадания в стержень, – кинетическая энергия стержня с застрявшим в нем телом.

Найдём долю механической энергии, которая теряется в данном случае:

.

Следовательно, первоначальная кинетическая энергия системы почти полностью переходит в тепло и работу разрыва древесины, т.е. закон сохранения механической энергии нарушается, в то время как закон сохранения момента импульса выполняется.

З адача 3.7. Горизонтальная круглая платформа массой = 500 кг и радиусом  м может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. Человек массой 75 кг стоит на краю платформы и бросает мяч массой 0,5 кг в направлении по касательной к платформе со скоростью = 5 м/с относительно Земли. С какой скоростью начнет вращаться платформа с человеком?

Моменты внешних сил (силы тяжести и реакции в оси платформы) относительно оси Z (рис. 3.7) равны нулю. Поэтому момент импульса системы «платформа–человек» относительно этой оси сохраняется

где – момент инерции платформы и человека. Тогда угловая скорость платформы

с^-1.

Задача 3.8. На какой угол надо отклонить однородный стержень, подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положения равновесия имел скорость = 5 м/с? Длина стержня м.

К

огда стержень отклонен (рис. 3.8) от вертикального поколения на угол , то он обладает запасом потенциальной энергии в поле силы тяжести где

При прохождении положения равновесия полная энергия стержня равна его кинетической энергии Тогда, по закону сохранения анергии,

Из последнего равенства получим

Задача 3.9. Вертикально висящая однородная доска длиной  м и массой  кг может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее верхний конец. В нижний конец доски ударяет тело, летящее горизонтально с начальной скоростью м/с. Тело пробивает доску и летит далее со скоростью . Определить скорость , если после удара доска стала колебаться с угловой амплитудой = 0,1 рад. Масса тела г.

На доску во время удара действуют сила реакции горизонтальной оси, момент которой равен нулю, так как направление действия этой силы проходит через ось; сила тяжести, момент которой также равен нулю, поскольку время удара предполагается столь малым, что доска не успевает отклониться от вертикали, и направление действия этой силы также проходит через ось. Следовательно, для системы «тело–доска» выполняется закон сохранения момента импульса относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис. 3.9):

(3.33)

г де – момент инерции доски, относительно выбранной оси; – угловая скорость доски после удара тела; и – моменты импульсов поступательно двигающегося тела до и после удара.

Для определения угловой скорости воспользуемся законом сохранения энергии, так как после удара в процессе отклонения доски на неё действуют лишь потенциальные силы:

, (3.34)

где – высота, на которую поднимается центр тяжести доски (см. задачу 3.8). Решая совместно уравнения (3.33) и (3.34), получаем скорость тела после удара:

м/с.

Задача 3.10. На гладкой горизонтальной плоскости лежат небольшая шайба и тонкий однородный стержень длиной l, масса которого в три раз больше массы шайбы. Шайбе сообщили скороcть в горизонтальном направлении перпендикулярно к стержню, после чего она испытала упругое соударение с концом стержня. Найти скорость центра масс и угловую скорость стержня после столкновения.

Решение. Силы тяжести, действующие на тела, уравновешены силами нормальной реакции, кроме того, трение отсутствует (плоскость гладкая), а удар упругий, поэтому система в горизонтальном направлении замкнута и подчиняется законам сохранения энергии и импульса. Следует учесть, что удар шайбы происходит не по центру масс стержня. Поэтому стержень после удара будет совершать не только поступательное движение со скоростью , но и вращательное с угловой скоростью вокруг своего центра масс.

Поскольку удар абсолютно упругий, то скорости поступательного движения центра инерции (центра масс) стержня и шайбы должны быть параллельны (или антипараллельны) направлению начальной скорости шайбы , направленной вдоль оси X (рис. 3.10):

(3.35)

(3.36)

где – момент инерции стержня относительно оси Z, проходящей через его середину.

М оменты внешних сил относительно оси Z, также равны нулю, и к системе «шайба–стержень» применим закон сохранения момента импульса. Начальный момент импульса шайбы относительно упомянутой выше оси равен: , после удара импульс системы .

Таким образом, закон сохранения момента импульса системы имеет вид

. (3.37)

Проецируя уравнение (3.35) на ось X и решая его совместно с (3.36) и (3.37), получаем скорость центра масс стержня , угловая скорость стержня

Полученный результат не зависит от выбора направления скорости тела после соударения со стержнем (на рис. 3.10, а или б).

Задача 3.11. Полый (достаточно тонкий) цилиндр и шар одинаковой массы и радиуса скатываются без скольжения с наклонной плоскости, высота которой h. Определить отношение скоростей их центров масс у основания плоскости. Какое тело скатится быстрее? Трением качения пренебречь.

Для каждого тела, участвующего в плоском движении, можно записать закон сохранения механической энергии:

, (3.38)

, (3.39)

, – угловые скорости вращения тел относительно оси, проходящей через их центр масс. Так как проскальзывания нет, то

и .

Поскольку и , то , .

Подставив эти величины в (3.38) и (3.39), получим

,

.

Разделив второе равенство на первое, получим . Быстрее скатится тело с меньшим моментом инерции (в данном случае шар).

Таблица аналогий между формулами