3. Динамика твердого тела Основные определения и формулы

Второй закон Ньютона для движения центра инерции твердого тела

, (3.1)

момент силы относительно точки

,

, (3.2)

момент инерции твердого тела относительно оси вращения

, (3.3)

где – расстояние от оси вращения до элемента массы .

Момент инерции – величина скалярная и зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Поэтому инертные свойства вращающегося тела определяются не только массой (как при поступательном движении), но его формой и расположением оси вращения.

Моменты инерции некоторых однородных твёрдых тел относительно оси, проходящей через их центр масс, равны:

– для сплошного цилиндра (диска) относительно оси симметрии

; (3.4)

– для тонкостенного цилиндра (обруча)

; (3.5)

– для шара

; (3.6)

– для тонкого стержня (относительно оси, перпендикулярной его длине и проходящей через центр инерции)

. (3.7)

По теореме Штейнера можно найти момент инерции тела относительно произвольной оси, если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, и параллельно заданной оси:

, (3.8)

где – масса тела, – расстояние между осями.

Момент импульса системы относительно точки

. (3.9)

В случае вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси z момент импульса относительно данной оси равен:

. (3.10)

Изменение момента импульса определяется уравнением

. (3.11)

Проекцию уравнения (3.11) на неподвижную ось (ось z) называют основным уравнением динамики вращения твердого тела:

или . (3.12)

где – суммарный момент всех внешних сил относительно оси z.

Закон сохранения момента импульса замкнутой системы:

. (3.13)

Работа внешних сил при повороте твердого тела вокруг оси

. (3.14)

Полная кинетическая энергия тела при плоском движении

, (3.15)

где – скорость поступательного движения центра инерции твердого тела,  – угловая скорость движения тела вокруг оси, проходящей через его центр инерции.

Методические указания

1. Методика решения задач на составление уравнения враща-тельного движения твёрдого тела аналогична методике решения задач на динамику точки. Необходимо:

а) указать все силы, действующие в отдельности на каждое тело;

б) написать уравнение II закона Ньютона для движения центра инерции тела (3.1);

в) основное уравнение динамики вращательного движения (3.12).

2. При решении задач по этой теме часто рассматривается вращение тел вокруг оси, связанной с центром инерции. В таком случае векторы , , и коллинеарны, поэтому удобно все уравнения записывать в скалярной форме, проецируя указанные векторы на ось вращения.

3. Плоское движение катящегося тела можно представить в виде наложения поступательного движения всего тела как целого со скоростью центра масс и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку. Иногда рассматривают вращение тела относительно оси, проходящей через точку касания катящегося тела с поверхностью. Тогда скорость любой точки тела относительно поверхности можно представить как результат вращения вокруг этой оси, называемой мгновенной (см. задачу 3.5). Мгновенная ось будет изменять свое положение относительно тела. При этом уже нет необходимости писать уравнение II закона Ньютона для движения центра инерции тела.

4. Если тело катится по поверхности без скольжения, то на него действует сила трения покоя, для которой выполняется соотношение , Q – сила нормального давления. Сила трения покоя действует в направлении, противоположном возможному направлению движения в отсутствии трения. В различных случаях сила трения покоя действует как в направлении противоположном движению, так и в направлении движения катящегося тела, а также может быть равна нулю (задача 3.5).

5. В задачах с вращающимся вокруг неподвижной оси блоком радиуса , через который перекинута нить, уравнение его движения записывается в виде , где J – момент инерции блока относительно неподвижной оси, – угловое ускорение, и – силы натяжения нити по разные стороны от блока. Если масса блока пренебрежимо мала по сравнению с массами других тел (т.е. ), то из уравнения получим – силы натяжения нити одинаковы.